1、第2课时用空间向量研究夹角问题学 习 任 务核 心 素 养1.能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角(重点、易混点)2.能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题(重点、难点)3.能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养.2.通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面1，2的一个法向量通过作图讨论线线角、线面角和平面与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角的关系知识点1利用向量
2、方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别是u，v，则cos |cosu，v|.1.两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么关系？提示设两角异面所成的角为，两条异面直线的方向向量为v1，v2，则v1，v2或v1，v21.设v1(1,2，2)，v2(2,3,2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角_.|v1|3，|v2|，v1v21(2)23(2)20，cos 0，.知识点2利用向量方法求直线与平面所成的角直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |cosu，n
3、|.2.设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则与v，n有什么关系？提示v，n或v，n.2.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C150D30D直线l和平面所成的角为1209030，故选D知识点3利用向量方法求两个平面的夹角(1)平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面与平面的夹角(2)若平面，的法向量分别是n1和n2，则平面与平面的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面与平面的夹角为，则cos |cosn1，n2|.3.设n1，n2分别是平面1，2
4、的一个法向量，平面1与平面2的夹角为，则与n1，n2的关系是什么？提示n1，n2或n1，n23.平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量为n2，那么平面与平面的夹角等于()A120B30 C60D30或150Bcosn1，n2，设与的夹角为，则cos |cosn1，n2|，所以30. 类型1两条异面直线所成的角【例1】(对接教材P36例题)如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值解以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，
5、)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角跟进训练1.如图所示，在正方形ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()ABCDA建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0
6、)，(1，1，2)，(1,0，2)，cos，. 类型2直线与平面所成的角【例2】如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,
7、0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EFBC(2)设直线EF与平面A1BC所成角为，由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)，设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，由得取n(1，1)，故sin |cos，n|.因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.试总结用坐标法求直线和平面所成的角的步骤提示跟进训练2.如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T
8、，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 类型3两个平面的夹角【例3】如图，在正方体ABEF
9、DCEF中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值平面MNA与平面MNB的夹角范围是，它与二面角AMNB有什么关系？解设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M，N，A(1,0,0)，B(0,0,0)法一：取MN的中点G，连接BG，AG，则G.因为AMN，BMN为等腰三角形，所以AGMN，BGMN，故AGB为两平面夹角或其补角又因为，所以cos，故所求两平面夹角的余弦值为.法二：设平面AMN的法向量n1(x，y，z)由于，.则即令x1，解得y1，z1，于是n1(1,1,1)同理可求得平面BMN的
10、一个法向量n2(1，1，1)，所以cosn1，n2，设平面MNA与平面MNB的夹角为，则cos |cosn1，n2|.故所求两平面夹角的余弦值为.利用坐标法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90的角)跟进训练3.如图所示，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
11、系SDC120，SDE30，又SD2，点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(1，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m(x，y，z)，(0,0，2)，(1，2)，取x，得平面SAD的一个法向量为m(，1,0)又(2,0，1)，设平面SAB的法向量为n(a，b，c)，则即令a，则n(，5,2)，cosm，n，故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是.1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为()ABC或D以上均不对Al1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A
12、2已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60 C150D120B设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，故选B3已知向量m，n分别是平面和平面的法向量，若cosm，n，则与的夹角为()A30B60 C120D150B设与所成的角为，且090，则cos |cosm，n|，60.4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为，则cos _.cos .5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值
13、为_设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)又(0,0,1)，则cos，.即BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用向量语言表述两条异面直线所成的角提示若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v|.(2)用向量语言表述直线和平面所成的角提示直线l和平面所成的角为，直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |cosu，n|.(3)用向量语言表述平面和平面的夹角提示平面与平面的夹角为，其法向量分别为n1，n2，则cos |cosn1，n2|.(4)试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤提示(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标(2)求出两个平面的法向量(3)求出两个法向量的夹角(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角
