1、江苏省南京市秦淮区2020届高三第一次模拟考试适应性测试数学试题一、填空题1.设全集，若集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用补集定义直接求解即可【详解】全集，集合，故答案为【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为_【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案【详解】 故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题3.函数f（x）的定义域为_【答案】（1，+）【解析】【分析】若函数有意义,则,求解即可.【详解】由题,若函数有意义,则,解得,
2、所以定义域为,故答案为:【点睛】本题考查具体函数的定义域,属于基础题.4.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为_【答案】65【解析】【分析】根据程序伪代码列出程序的每一步,进而可得输出结果.【详解】由题,此时输出,故答案为:65【点睛】本题考查利用程序的伪代码求算法的输出结果,属于基础题.5.某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_【答案】75%【解析】【分析】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,则,进而求解即可.【详解】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是
3、男生”的概率为,因为,所以,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为,故答案为:【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.6.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意知，所以.双曲线的离心率.故答案为.点睛：在双曲线中，（1）离心率为，（2）焦点为，其中；（3）渐近线为：.7.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为，则该棱锥的体积为_.【答案】【解析】侧面的高，正四棱的高为，体积为，故答案为.8.函数，则f（f（0）_【答案】【解析】【分析】先求得,则,进而求解即可.【详解】由题,则,故答案为:【点睛】本题考查分段函数求函数值,属于基
4、础题.9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y100相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是_【答案】x2+（y+1）213【解析】【分析】设圆心为,由圆C与直线相切可得,再由切点为可得,进而求解即可.【详解】由题,设圆心为,则,所以或,又,所以,故圆的标准方程为,故答案:【点睛】本题考查圆的标准方程,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的切线的几何性质的应用.10.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，若（1，2为实数），则1+2_【答案】【解析】【分析】由题可得,进而利用平面向量分解定理求解即可.【详解】由题,因为,所以,所以,则,故答案为:【点睛
5、】本题考查平面向量分解定理的应用,考查数乘向量.11.已知e为自然对数的底数若不等式（ex11）（xa）0恒成立，则实数a的值是_【答案】1【解析】【分析】若,则与同号,分别讨论与时的情况,进而求解即可.【详解】若,则与同号,当时,此时,即,所以；当时,此时,即,所以,综上,故答案为:1【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查分类讨论思想.12.在等差数列an中，已知公差d0，a22a1a4，若，成等比数列，则kn_【答案】3n+1【解析】【分析】由等差数列的通项公式可得,解得,即,则可分析得到成等比数列,进而求解即可.【详解】由题,因为,即,解得,所以,因为成等比数列,即成等比数列,则成等比
6、数列,则,所以,故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查等比数列的定义的应用.13.在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：ysinx（x0，）在点A处的一条切线，且lOP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则_【答案】【解析】【分析】由点 P为曲线M的最高点可得为,则,设点为,求导可得,即直线的方程为,则点为,进而求解即可.【详解】由题,点 P为曲线M的最高点,所以点为,则,因,所以,由,所以,设点为,则点为,所以,则,则直线为,令,则,即点为,所以,所以,故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查坐标法求数量积,考查运算能力.
7、14.在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B4sin2C，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得,设边上的高为,则,可解得,再利用三角函数定义可得,进而消去x，再根据基本不等式求解即可.【详解】由题,根据正弦定理可得,设边上的高为,则,因为,所以,即,可得,又,即,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查三角函数定义的应用,考查利用均值定理求最值.二、解答题15.如图，在ABC中，已知B，AB3，AD为边BC上的中线，设BAD，若cos（1）求AD的长；（2）求sinC的值【答案】（1）AD（2）sinC【解
8、析】【分析】（1）由题,先求得,在中利用正弦定理求解即可；（2）由（1）可得,在中先利用余弦定理求得,再利用正弦定理求解即可.【详解】（1）由题,因为BAD,且cos,所以,所以,又在ABD中,已知B,AB3,AD为边BC上的中线,则根据正弦定理可得,即,解得BD,AD（2）由（1）,根据余弦定理可得,解得AC,则由正弦定理可得,解得sinC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查利用余弦定理解三角形,考查运算能力.16.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD平面ABCD，BDCD，E，F分别为BC，PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）求证：平面PBC平面EFD【答案
9、】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取PA中点G,连接BG,FG,由中位线的性质可得FGAD,FG,且BEAD,BFAD,则四边形BEFG为平行四边形,进而求证即可；（2）由PD平面ABCD可得PDBC,在由等腰三角形的性质可得DEBC,进而求证即可.【详解】证明：（1）如图,取PA中点G,连接BG,FG,F为PD的中点,FGAD,且FG,E为BC的中点,BEAD,且BFAD,FGBE,FGBE,则四边形BEFG为平行四边形,EFBG,又BG平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB（2）PD平面ABCD,PDBC,BDCD,E为BC的中点,DEBC,又PDDED,平面PD
10、E,BC平面PDE,又BC平面PBC,平面PBC平面EFD.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点已知l被圆O：x2+y2a2截得的弦长为，求OPQ的面积【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由题可得,再由可求得,即可得到椭圆方程；（2）显然直线的斜率不为0,设直线l的方程为xmy+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得,由直线截圆的弦长求得,进而求解即可.【详解】（1
11、）由题意知,因为,解得a24,b23,所以椭圆的方程为:1（2）由题意知直线l的斜率不为0,由（1）知F（1,0）,设直线l的方程为xmy+1,P（x,y）,Q（x,y）,联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my90,所以y+y,yy,所以|PQ|,因为圆O:x2+y24到l的距离d,被圆O:x2+y24截得的弦长为,所以得144（4）,解得m21,所以d,|PQ|,所以SOPQ.【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查椭圆内的三角形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查圆的弦长的应用.18.如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点
12、，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路的长；（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【解析】【分析】（1）建立
13、如图平面直角坐标系，易得，直线的方程为，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：，直线的方程为，（）.由，解得，所以.故直线的方程为，由得即，故，答：水上旅游线的长为.（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，则，所以.若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，即，当时，上式成立，当时，当且仅
14、当时取等号，因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.19.在数列an中，a13，且对任意的正整数n，都有an+1an+23n，其中常数0（1）设bn当3时，求数列bn的通项公式；（2）若1且3，设cnan，证明：数列cn为等比数列；（3）当4时，对任意的nN*，都有anM，求实数M的最大值【答案】（1）；（2）证明见解析（3）最大值为3【解析】【分析】（1）当可得,等式两边同除,进而根据等差数列定义以及通项
15、公式求解即可；（2）将代入中,整理后得递推关系，再根据等比数列定义即可证明；（3）当时可得,等式两边同除并设,则,利用累加法求得,即可求得,再判断数列的单调性,进而求解即可.【详解】（1）当3时,有an+13an+23n,则,又,数列bn是首相为1,公差为的等差数列,（2）证明：当0且1且3时,又,数列是首项为,公比为的等比数列（3）当4时,an+14an+23n,设pn,以上各式累加得:,又,显然数列an是递增数列,最小项为a13,对任意的nN*,都有anM,a1M,即M3,实数M的最大值为3.【点睛】本题考查等比数列的证明,考查由递推公式得数列的通项公式,考查数列的单调性的应用.20.已知
16、函数g（x）exax2ax，h（x）ex2xlnx其中e为自然对数的底数（1）若f（x）h（x）g（x）讨论f（x）的单调性；若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围（2）已知a0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：【答案】（1）见解析；（0，1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导,分别讨论与的情况即可；由若有两个不同的零点,则,由于当x0时,f（x）+；当x+时,f（x）+,则只需使得即可,进而求解；（2）先对求导,由题可得,两式相减可得,转化为,设,即证,进而利用导函数判断单调性证明即可.【详解】（1）f（x）h（x）g（x）ex2xlnxex+ax2
17、+axax2+（a2）xlnx（x0）,（x0）,（i）当a0时,f（x）0,函数f（x）在（0,+）上递减；（ii）当a0时,令f（x）0,解得；令f（x）0,解得,函数f（x）在递减,在递增；综上,当a0时,函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时,函数f（x）在上单调递减,在上单调递增由知,若a0,函数f（x）在（0,+）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a0；且当x0时,f（x）+；当x+时,f（x）+；故要使函数f（x）有两个不同的零点,只需,即,又函数在（0,+）上为增函数,且,故解集为（0,1）,故实数a的取值范围为（0,1）（2）证明: g（x）ex2axa,依题意,则,两式相减得,因为a0,要证,即证,即证，两边同除以,即证,令tx1x2（t0）,即证,令,则,令,则,当t0时,p（t）0,所以p（t）在（,0）上递减,p（t）p（0）0,h（t）0,h（t）（,0）上递减,h（t）h（0）0,即,故.【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查极值点的应用,考查不等式的证明.