1、江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2.已知，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，考查了运算能力，属于基础题.3.在中
2、，若，则的值为（ ）A. B. C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理的边化角公式，得出，即可求出结果.【详解】解：由题可知，而，即.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的应用，运用了正弦定理的边化角公式，属于基础题.4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A、C两地的距离为 （ ）A. 10 kmB. kmC. kmD. km【答案】D【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A，C两地的距离即可【详解】因为A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为：AC2AB2+CB22A
3、BBCcosABC102+2022700所以AC10km故选D【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力5.已知点在过点和的直线上，则的值为（ ）A. 5B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据求出.【详解】因为在过点和的直线上，由题，所以，得.故选：C.【点睛】本题考查了三点共线，可用任两点的斜率相等解决，属于基础题.6.若圆经过点，且圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设圆的圆心为，半径为，得出圆的标准方程，结合条件列式，解方程组求出半径，即可求出圆的面积.【详解】解：设圆的圆心为，半径为，则圆的方程为，由于，在
4、圆上，且圆心在直线上，则，解得：，所以该圆的面积是：.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求圆的标准方程，解方程组是本题的关键，属于基础题.7.若圆有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为，即，解得.8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案
5、填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分.9.已知，是锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，求出，再利用角变换，利用两角差的余弦公式求得答案.【详解】由是锐角，则，又，是锐角，则，得，又，则，则得或.故选：AC【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式，角变换技巧，两角差的余弦公式，属于中档题.10.已知直线，则下列结论正确的是（ ）A. 直线的倾斜角是B. 若直线则C. 点到直线的距离是D. 过与直线平行的直线方程是【答案】CD【解析】【分析】对于A求得直线的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误
6、；对于B求得直线的斜率k，计算kk是否为1，即可判断B的正误；对于C利用点到直线的距离公式，求得点到直线l的距离d，即可判断C的正误；对于D利用直线的点斜式可求得过与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误【详解】对于A直线的斜率ktan，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B因为直线的斜率k，kk11，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C点到直线l的距离d2，故C正确；对于D过与直线l平行的直线方程是y2（x2），整理得：，故D正确综上所述，正确的选项为CD故选：CD【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题11.已知
7、圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）A. 圆的圆心为B. 圆被轴截得的弦长为8C. 圆半径为5D. 圆被轴截得的弦长为6【答案】ABCD【解析】【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.【详解】由圆的一般方程为，则圆，故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；令，得或，弦长为8，故B正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被轴，轴所截的弦长问题，属于基础题.12.在中，角，所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. 是钝角三角形C. 的最大内角是最小内角的倍D.
8、 若，则外接圆半径为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可设，求得，利用正弦定理可得A正确；利用余弦定理可得，三角形中的最大角为锐角，可得B错误；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可判断C正确，利用正弦定理即可判断D正确；问题得解.【详解】因所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以,所以由三角形中角最大且角为锐角可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确；故选ACD【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及
9、计算能力，考查方程思想及转化能力，属于中档题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. tan22+tan23+tan22tan23=_【答案】1【解析】解：因为tan22+tan23+tan22tan23=tan(22+23)(1- tan22tan23)+ tan22tan23=tan45=114.过圆上一点作圆的切线，则切线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，写出该圆的圆心和半径，由于过圆上一点的切线只有一条，且切点与圆心连线与切线所在直线互相垂直，求得切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程【详解】解：圆的圆心为，半径，点，且，
10、即点在圆上，则过的切线与直线垂直，则切线斜率为，所以切线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查两直线垂直的斜率关系和点斜式直线方程的应用，考查运算能力.15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为_ km2.【答案】21【解析】【分析】用余弦定理求出一个角的余弦，再转化为正弦，由三角形面积公式可计算【详解】设在中BC=13里，AC=
11、14里，AB=15里，故的面积为.故答案为：21【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系本题还考查了数学文化16.已知直线l：mxy1，若直线l与直线x+m（m1）y2垂直，则m的值为_，动直线l：mxy1被圆C：x22x+y280截得的最短弦长为_【答案】 (1). 0或2 (2). 【解析】【分析】直接由直线垂直与系数的关系列式求得m值；化圆的方程为标准方程，作出图形，数形结合求解【详解】由题意，直线mxy1与直线x+m（m1）y2垂直，所以m1+（1）m（m1）0，解得m0或m2；动直线l：mxy1过定点（0，1），圆C：x22x+y280化为（x1）2+y29
12、，圆心（1，0）到直线mxy10的距离的最大值为，所以动直线l：mxy1被圆C：x22x+y280截得的最短弦长为故答案为0或2； 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式，准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.求函数的周期、最大值和最小值.【答案】最小正周期为，最大值为2，最小值为-2.【解析】【分析】首先根据二倍角的三角函数公式以及辅助角公式把函数转化为的形式，再分别求周
13、期和最值.【详解】解：，的最小正周期为，当时取最大值为，当且仅当时取等号；当时取最小值为，当且仅当时取等号；所以最大值为，最小值为，最小正周期为.【点睛】本题主要考查了二倍角的三角函数公式以及辅助角公式，利用的性质求周期和最值.属于较易题.18.已知的内角，所对的边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，切化弦，再利用两角和差公式化简可求得角；（2）由余弦定理可求得，再用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】解：（1）由得，即，又显然不等于0，（2）由（1）知，又，根据余弦定理得，.【点睛】本题主要考查切化弦技巧，两角和与差公式的逆用，余
14、弦定理，三角形的面积问题，属于中档题.19.求满足下列条件的直线的方程：（1）直线过点且倾斜角为.（2）直线过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍（3）直线关于直线对称的直线的方程.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】利用点斜式写方程；利用截距式写方程；利用当对称轴斜率为时，由对称轴方程分别解出，代入已知直线方程即可得出结果.【详解】因为直线倾斜角为，又直线过点， 利用点斜式得，整理得设在轴上的截距为，当时，直线过原点，设，点代入得，即直线方程为；当时，可设直线方程为：，点代入得，将代入，整理得，故直线方程为.因为直线得斜率为，故有将其代入直线得：，整理即得，故直线方程为.【点睛】本
15、题主要考查了直线方程的几种求法.属于较易题.20.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）平方海里；（2）海里【解析】【分析】（1）在ABD中，由题可知BAD=，ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知ABC=，又知所以BCA=，所以AB=AC=，在DBC中，利用余弦定理即可求出CD.【详解】（1）如图所示,在中由正弦定理可得，则的面积（平方海里） （2），在中，由余弦定理得，即（海里）答：
16、的面积为平方海里，间的距离为海里.21.已知圆，直线.（1）求证：对直线与圆总有两个不同的交点；（2）是否存在实数，使得圆上有四个点到直线的距离为？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；或.【解析】分析】（1）写出圆的圆心为，半径为，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，结合题意判断得出，即可证明：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）要使得圆上有四个点到直线的距离为，则要求圆心到直线的距离小于，解不等式即可求出的范围.【详解】解：（1）证明：圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为：，由于，则，即，则，所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不
17、同的交点.（2）假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径，则圆心到直线的距离小于，则圆心到直线的距离为：，化简得，解得：或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及利用点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.22.在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为（1）求圆的方程；（2）设直线与圆没有公共点，求的取值范围；（3）设直线与圆交于、两点，且，求的值【答案】(1) (2) (3) 或【解析】【分析】（1）利用直线和圆相切可求圆的半径，从而得到圆的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离大于半径可求的取值范围.（3）设，由可得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达
18、定理化简得到一个与有关的方程，解方程后可求的值.【详解】解：（1）设圆的方程是（为圆的半径），为圆心的圆与直线相切，所求圆的半径，所求的圆方程是（2）圆心到直线的距离与圆没有公共点，即，解得的取值范围为.（3）设消去，得到方程，由已知可得，判别式，化简得，由于，可得，又，得由得，故或，它们满足，故或【点睛】直线与圆的位置关系问题，有两种基本的处理策略：（1）利用平面几何中的一些定理、性质进行转化，如垂径定理、相交弦定理、切线长定理等；（2）一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.
