1、吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则 ( )A. （,2）B. （1,0C. （1,2）D. （1,
2、0）【答案】B【解析】【分析】分别根据对数与二次不等式的运算求解集合,进而求得即可.【详解】集合,故选：B【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2. 已知，若，则a=( )A. 1B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】先把复数进行化简，得到，再根据共轭复数的概念求出，然后直接计算即可求解.【详解】，a0，解得.故选：A【点睛】本题考查复数的共轭，以及复数的四则运算，属于简单题3. 已知，则( )A. abcB. cbaC. acbD. bac【答案】C【解析】【分析】根据指数的性质可得，根据对数的性质可得，综合即可得结果.【详解】，且，故选：C.【
3、点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.4. 某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图.下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是( )A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B. 根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在20，25内C. 根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【答案】A【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项：甲门店的营业额平均值远低于32万元，A错误，其他正
4、确，得到答案.【详解】对于A，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，A错误.对于B，甲门店的营业额的平均值为21.6，即该门店营业额的平均值在区间20，25内，B正确.对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确.故选：A.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的识图能力和应用能力.5. 若x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. 5B. 6C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由目标函数作出可行域，由直线方程可知，目标函数过点时，有最大值，求
5、出点坐标，代入即可求出结果.【详解】由x，y满足约束条件，作出可行域如图，由，得yx，由图可知，当直线yx过可行域内点时直线在y轴上的截距最小，最大.联立，解得目标函数z=x2y的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查线性规划问题，解题关键是能将问题转化为直线截距最值的求解问题.6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积是( )A. B. 36C. 63D. 216+9【答案】C【解析】【分析】根据题目的三视图作出几何体的直观图，然后计算即可求解.【详解】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V=V柱+V锥=32 6323=63.故选：C【点睛】本题考查几何体的三
6、视图，属于简单题.7. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据奇偶性的判断可知，选项B，D不符题意，然后利用特值法，在范围内代入一个特值，即可得出正确答案.【详解】观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，对于A选项，为偶函数，对于B选项，为奇函数，对于C选项，
7、为偶函数，对于D选项，为奇函数，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当时，如取，则有，f（x）0，不合题意；故选：C【点睛】本题考查函数图像的判断,有以下几个方法：(1)根据奇偶性判断；(2)根据特值判断；(3)根据单调性和趋势判断.8. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若，则正数的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，函数的半周期为，故可求得，又由条件，推得是的一条对称轴，故而求得的表达式，由，求得最后结果.【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，又，是的一条对称轴， ，.故令，得为最小值.故选：B.【
8、点睛】本题为考查“的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型.9. 若的展开式中x2的项的系数为,则x5的项的系数为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二项式的展开式公式求解,再计算x5的项的系数即可.【详解】由已知得,k=0,1,.,8,令,解得k=4,解得.令,得k=2,故x5的系数为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式的展开式公式的运用,属于基础题.10. 抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则面积的最大值为( )A. B. C. D.
9、【答案】D【解析】【分析】易得直线l的方程为，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出；设与直线l平行的直线为：，当直线与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，进而求得m的值，再求出直线l与直线的距离，最后计算面积即可.【详解】由题意可知直线l的方程为：，设，代入抛物线的方程可得，由抛物线的性质可得，设与直线l平行的直线方程为：，代入抛物线的方程可得，当直线与抛物线相切时，P到直线l距离有最大值，所以，解得，直线l与直线的距离，所以面积的最大值为，故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.11. 在矩形ABCD中，
10、沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：在四面体ABCD中，当时，；四面体ABCD的体积的最大值为；在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对四个结论逐一分析判断，对于，利用翻折前后这个条件不变，易得平面，从而；对于，当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，易得出体积；对于，当平面平面时，BC与平面ABD所成角最大，即，计算其正弦值可得出结果；对于，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒
11、为定值.【详解】如图，当时，平面，平面，即正确；当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，即正确；当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，为，而，BC与平面ABD所成角一定小于，即错误；在翻折的过程中，和始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，四面体ABCD的外接球的体积不变，即正确.故正确的有.故选：C.【点睛】本题考查图形翻折的应用，解题关键是应抓住翻折前后的“不变量”和“变量”，进而分析计算，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养，属于常考题.12. 若对任意的，恒成立，则a的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
12、分析】恒成立等价于恒成立，令，可得出，再令，可得，然后利用导数求即可.【详解】对任意的，可知，则恒成立等价于，即，令，则函数在上为减函数，再令，在上为减函数，a，故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的恒成立求参问题，考查分析和转化能力，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知向量，向量在方向上的投影为，则_.【答案】2【解析】【分析】由向量投影的定义列出关于m的方程求解即可.【详解】由题意可知：向量在方向上的投影为，两边平方，可得，解得或，当时，不符合题意，.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平
13、面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题.14. 在中，角，所对的边分别为，已知，则的面积为_.【答案】.【解析】【分析】利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】因为，又，所以，化为，解得， 所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力，属于基础题.15. 若，则_.【答案】【解析】【分析】将所给条件等式化简变形，代入所求式子，结合余弦二倍角公式化简即可得解.【详解】，代入等式，结合余弦二倍角公式化简可得.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数式化简求值的简单应用，二倍角公式的用法，属于基础题
14、.16. 双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，8），则该双曲线的标准方程为_.已知点A（6，0），若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，PAF的周长的最小值为_.【答案】 (1). (2). 28【解析】【分析】答题空1：利用已知条件求出，然后求出双曲线方程即可答题空2：利用双曲线的定义转化求解三角形的周长最小值即可【详解】双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，8），解得a=4，b=4.双曲线的标准方程为；设双曲线的上焦点为F（0，8），则|PF|=|PF|+8，PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF|+|PA|+|AF|+8.当P点在第二象限，且A，
15、P，F共线时，|PF|+|PA|最小，最小值为|AF|=10.而|AF|=10，故，PAF的周长的最小值为10+10+8=28.故答案为：；28.【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的标准方程，以及求解三角形的周长最小值问题，属于简单题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 设an是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列.（1）求an的通项公式；（2）已知数列bn的前n项和为Sn，b1=1，且1（n2），求数列an
16、bn的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列、等比数列的性质可得42q=32+2q2，解方程后利用等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意结合等差数列的判定与通项公式可得，利用与的关系可得，进而可得，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=3a1+a3，又an是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列， 所以42q=32+2q2，解得q=3或q=1（舍去），则；（2）由，且，可得是首项和公差均为1的等差数列，所以，所以，可得n=1时，b1=S1=1；时，对于n=1时，该式也成立，则，所以所以，两式相减可得，
17、所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了数列与的关系与错位相减法求数列前n项和的应用，牢记错位相减法对应的形式并且细心计算是解题关键，属于中档题.18. 如图，在正四棱柱中，是棱的中点，平面与直线相交于点.（1）证明：直线平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，设点为的中点，连结，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能证明平面（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值【详解】解：（1）证明：平面平面，平面平面，平面平面，由题意得，设点为的中点，连结，是棱的中点，平面，平面，平面，
18、平面，平面，平面，平面平面，平面，平面（2）解：，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，1，0， 1，1，1，0，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，由，二面角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题19. 已知0m2,动点M到两定点F1（m,0）,F2（m,0）的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明：以AB
19、为直径的圆过曲线C的右顶点.【答案】（1）, ；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义可知曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,再代入点求得椭圆中的基本量即可.(2)设直线,再联立椭圆的方程,得出韦达定理,代入进行计算可得证明即可.【详解】（1）解：设M（x,y）,因为|MF1|+|MF2|=42m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.设椭圆C的方程为1（b0）,代入点得b2=1,由c2=a2b2,得c2=3,所以,故曲线C的方程为；（2）证明：设直线l：x=ty,A（x1,y1）,B（x2,y2）,椭圆的右顶点为P（2,0）,
20、联立方程组消去x得0.0,y1+y2,y1y2,所以 ,故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及方程的求解方法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明圆过定点的问题,可利用向量的数量积为0列式化简求解.属于难题.20. 已知函数f（x）=lnxtx+t.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当t=2时,方程f（x）=max恰有两个不相等的实数根x1,x2,证明：.【答案】（1）当t0时,f（x）在（0,+）上单调递增；当t0时,f（x）在（0,）上单调递增,在（,+）上单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)求导后分
21、和两种情况讨论极值点的大小关系以及导函数的正负,进而求得原函数的单调区间即可.(2)代入,根据f（x）=max,可得的两根分别为,再消去化简得到,再代入所证的,换元令,进而求导分析导数的正负以及原函数的单调性即可.【详解】（1）f（x）的定义域为（0,+）,f（x）,当t0时,f（x）0恒成立,f（x）在（0,+）上单调递增,当t0时,令f（x）0,得0x,令f（x）0,得x.f（x）在（0,）上单调递增,在（,+）上单调递减.综上所述,当t0时,f（x）在（0,+）上单调递增；当t0时,f（x）在（0,）上单调递增,在（,+）上单调递减.（2）证明：由f（x）=max,得lnx+（a2）x+
22、2m=0.令g（x）=lnx+（a2）x+2,则g（x1）=g（x2）=m.即lnx1+（a2）x1=lnx2+（a2）x2,a2.不妨设0x1x2,要证,只需证2（2a）,即证.令（c1）g（c）=2lncc,g（c）0.g（c）在（1,+）上单调递减,则g（c）g（1）=0.故成立.【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了构造函数解决双变量的问题,需要根据题意消去参数,再换元构造函数分析单调性与最值证明不等式.属于难题.21. 2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大
23、意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得1分；单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得1分；弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为和.（1）
24、在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为，求的分布列；（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 由题意知，的所有可能取值为1，0，1，然后，列出的分布列即可(2) 记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为小区管理方案概率为P，然后分别求出，的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：，然后计算求解即可.【详解】（1）由题意知，的所
25、有可能取值为1，0，1，P（=1）=（1），P（=0），P（=1），的分布列为（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为；第二类，A方案前两次得了一次1分一次1分，后两次均得1分，其概率为，若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为；第二类，A方案
26、前三次得了一次1分，一次0分，一次1分，最后一次得了1分，其概率为；第三类，A方案前两次得了一次1分一次1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为.故，最终选取A方案为小区管理方案概率为.【点睛】本题考查离散随机变量的分布列问题，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，曲线与曲线的交线为直线（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）直线与轴交于点，与曲线相交于
27、，两点，求的值【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转化公式求解即可；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】解：（1）已知曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，整理得，根据转换为直角坐标方程为，两个方程相减得公共弦所在直线的方程为，曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为；（2）直线与轴交于，直线的参数方程为为参数），代入到，得，故【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】23. 设函数.（1）求不等式的解集；（2）若方程有两个不等实数根，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）函数写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程有两个不等实数根等价于有两个不等实数根，利用基本不等式求出当x0时的范围，然后数形结合求出a的取值范围.【详解】（1），或，或，即，不等式的解集为；（2）方程，即，显然不是方程的根，故，令，当x0时，当且仅当时取等号，作出的图象，如图所示：方程有两个不等实数根，由图象可知.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质，属于中档题.