1、河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试理科数学 （满分：150分，测试时间：120分钟）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1是虚数单位， 则 2 4 2集合，则 3已知向量，则与的夹角为 4如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 5已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 6函数的图象大致为 7若，则下列不等式正确的是 8已知棱长为1的正方体被
2、两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 9函数的定义域为，且，当时，；当时，则 671 673 1343 134510如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 11函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 1 2 3 412已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是 第II卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13若x
3、，y满足，则的最小值为 14在的展开式中常数项等于 15已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 16在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知数列满足 ，（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和18（本小题满分12分）山东省高考改革试点方案规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等
4、级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）（）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间61,80的人数，
5、求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，）19（本小题满分12分）如图，在四面体中，分别是线段的中点，直线与平面所成的角等于（）证明： 平面平面；（）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时（）求椭圆的方程；（）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由21（本小题满分12分）已知函数 （为常数）（）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（）若存在两个极值点，且，求的最大值请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）在直
6、角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）求的直角坐标方程；（）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.23（本小题满分10分）已知,（）若,求不等式的解集；（）设关于的不等式的解集为,若集合,求的取值范围.河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试理科数学评分标准参考一、选择题1. B 2. C 3.B 4. B 5.C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. A 11. D 12.A二、填空题13. 2 14. 9 15. 4 16. 三、解答题17【解析】（）当时，当时由两式相减得，即4分且上式对于时
7、也成立所以数列的通项公式 6分（）因为，8分10分所以12分18【解析】（）因为物理原始成绩则 3分所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人） 5分（）随机抽取1人，其成绩在区间61,80的概率为所以随机抽取三人，则可取0,1,2,3，且7分所以的分布列为012310分数学期望12分19【解析】（）在中，是斜边的中点，所以.因为是的中点，所以，且，所以，.2分又因为，所以，且，故平面因为平面，所以平面平面5分（）方法一：取中点，则因为，所以.又因为，所以平面，故平面因此是直线与平面所成的角所以.8分过点作于，则平面，过点作于，连接，则为二面角的平面角.10分因为，所以因此二面角的余弦值为1
8、2分方法二：如图所示，在平面BCD中，作x轴BD，以B为坐标原点，BD，BA为y，z轴建立空间直角坐标系.因为 (同方法一,过程略)则，,8分所以,设平面的法向量则即取,得10分设平面的法向量则即取,得所以因此二面角的余弦值为12分20【解析】（）由已知椭圆过点，可得，.3分解得所以椭圆的方程为. 5分（）设，的中点由消去得，所以. 7分当时，设过点且与垂直的直线方程将代入得：9分若，则，若，则所以或11分当时，综上所述，存在点满足条件,m取值范围是.12分21【解析】（）设，定义域为由二次函数图象性质可知，函数是单调函数等价于恒成立，2分所以或解得.5分（）由（I）函数的两个极值点满足，所以不妨设，则在上是减函数，8分令设函数因为，所以在上为增函数.10分由，即，解得，故所以的最大值为.12分22【解析】（）极坐标方程可化为2分等价于，将代入，所以曲线的直角坐标方程为.5分（）不妨设，点的极坐标分别为所以7分所以当时，取得最大值.10分23【解析】（）若，则，等价于或或3分解得所以原不等式的解集为5分（）由题意可知，对于，不等式恒成立可化为化简得7分所以，即因为所以10分