1、广东省深圳市宝安区2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集2，3，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果【详解】因为全集，集合，则
2、，又因为集合，所以；故选B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案【详解】,则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算
3、要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果.【详解】正方形二维码的面积为： 黑色部分的面积为：故选：【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.4.已知双曲线，直线与C的两条渐近
4、线的交点分别为M，N，O为坐标原点若为直角三角形，则C的离心率为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：即 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.5.已知数列中，若数列为等差数列，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：，因为数列为等差数列，所以，所以，所以，故选C【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先
5、求出公差，然后再求出结果，较基础6.已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由，且得，代入得，=，故选C解法二：由，且得，所以，故选C【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础7.镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意可得，解得，则灯球的总数为个，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为A.
7、 8B. 7C. 9D. 168【答案】A【解析】【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论【详解】甲班学生成绩的平均分是85，即乙班学生成绩的中位数是83，若，则中位数为81，不成立若，则中位数为，解得，故选：A【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比较基础9.已知点是的重心，若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法三角形法则及三角形重心的性质可得,，根据向量的数量积的定义可得,设，则，当且仅当，即，ABC
8、是等腰三角形时等号成立.综上可得的最小值是.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.对于任意实数x，y，把代数运算的值叫做x与y的“加乘和谐数”，记作符号“”，其中a，b，c是常数，若已知，若恒成立，则当且仅当非零实数m的值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由新定义的运算，及，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系又由有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有，可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值【详解】根据题意，若已知，则有，变形可得
9、，又由对于任意实数x恒成立，则有，m为非零实数，则，又由，则有又由解可得：故选：B【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“加乘和谐数”的定义，对于新定义的题目主要是认真读题，明白题意，转化为数学问题.11.设函数的值域为A，若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】结合对号函数的性质可求得函数的值域，根据集合的包含关系可构造不等式求得结果.【详解】 （当且仅当，即时取等号），即 ，即故选：【点睛】本题考查函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够结合对号函数的性质准确求得函数的值域.12.在所有棱长都相等的三棱锥中，D，E，F分别是
10、AB，BC，CA的中点，下列四个命题：（1）平面PDF；（2）平面；（3）平面平面；（4）平面平面其中正确命题的序号为_A. （2）（3）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （1）（4）【答案】C【解析】【分析】（1）根据三角形中位线得，根据线面平行判定定理可知（1）正确；（2）根据位置关系可知与平面相交，（2）错误；（3）假设垂直关系成立，根据面面垂直的性质可证得平面，由线面垂直性质得到，根据等腰三角形三线合一可得，则，不成立可知假设错误，故（3）错误；（4）根据线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论，知（4）正确.【详解】（1）分别为中点 平面，平面 平面，（1）
11、正确；（2），平面 平面，（2）正确；（3）假设平面平面，为中点 ，又 平面平面，平面 平面平面 ，为中点 ，显然不成立故假设错误，（3）错误；（4）三棱锥所有棱长都相等 又，为中点 ，平面， 平面又平面 平面平面，（4）正确【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，涉及到线面平行的判定、面面垂直的判定、线面垂直和面面垂直性质的应用等知识；考查学生对于立体几何中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】试题分析：，时，即切线斜率为2考点：导数的几何意义14.在平面直角坐标系xOy中，
12、若动圆C上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为_【答案】【解析】如图：可得不等式组表示的平面区域，围成的三角形为等边三角形，则面积最大的圆为三角形内切圆，圆心为，半径为，所以圆C的标准方程为15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则_【答案】【解析】【分析】根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称 即： 本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16.
13、已知数列的前项和为，且（为常数）若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为_【答案】【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.【详解】当时， ，解得：当且时，即：数列是以为首项，为公比的等比数列 ，解得：又 或满足条件的的取值集合为本题正确结果：【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
14、17.在中，点D，E分别在边AB，BC上，且的面积为（1）求边DE长；（2）若，求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题, ,可得,进而通过余弦定理求出；（2）中,由正弦定理可得,解出即可【详解】解：（1）如图,在中,所以，,因为,所以, 由余弦定理得,（2）因为,所以, 在,由正弦定理得,即,所以【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查余弦定理求三角形边长,考查正弦定理的应用,考查运算能力18.如图，四棱锥中，底面，点为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连结，通过条件证明，得到，从而证明平面
15、.（2）由（1）知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连结，则易证，从而得到点到平面的距离.【详解】证明：（1）取的中点，连结，是棱的中点，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）取中点，连结，在中，由余弦定理得，又底面，面，平面平面由（1）知平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，点到平面的距离为【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过线面平行将点到平面的距离进行转化，属于中档题.19.已知抛物线，直线与相交所得的长为8求的值；过原点O直线与抛物线交于点，与直线交于H点，过点H作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】直线方
16、程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出的值；由可得，设，求出点的坐标，利用两点式可表示出直线的方程，从而可求得直线过定点【详解】由，消x可得，弦长为，解得或舍去，由可得，设，直线OM的方程，当时，代入抛物线方程，可得，直线MN的斜率，直线MN的方程为，整理可得，故直线MN过点【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近六年的年宣传费和年销售量（
17、）的数据作了初步统计，得到如下数据：年份年宣传费（万元）年销售量（吨）经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）（2）当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.【解析】【分析】（1）转化方程，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。（2）将z函数转化为二次函数，计算最值，即可。详解】（1）对，（，），两边取对
18、数得，令，得，由题目中的数据，计算，且 ，；则 ，得出，所以关于的回归方程是；（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为 ，所以当，即时，取得最大值，即当2019年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值.【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。21.已知函数，是常数证明：曲线在处的切线经过定点；证明：函数有且仅有一个零点【答案】（）； （）见解析.【解析】【分析】求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点讨论函数的单调性，结合零点存在定理，推出零点的个数【详解】曲线在处的切线为即，
19、当时，即切线过定点当时，单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x是充分小的正数时，当x是充分大的正数时，所以，有且仅有一个零点当时，解得， x00极大值极小值，其中，所以所以，任意，在区间无零点取，则，所以，在区间有零点由的单调性知，在区间有且仅有一个零点综上所述，函数有且仅有一个零点【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直
20、线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l，由正弦函数的性质分析可得答案【详解】（1）由，将x=cos，y=sin代入得到+3=12,所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为
21、的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，所以|PM|PN|t1t2|4（2）由曲线C的方程为 ，不妨设曲线C上的动点，则以P为顶点的内接矩形周长l，又由sin（）1，则l16；因此该内接矩形周长的最大值为16【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题23.设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）已知恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值即可【详解】（1）a1时，f（x）|x+1|+|x1|，若g（x）f（x），即x2-x|x+1|+|x1|，故或或，解得：x3或x-1，故不等式的解集是x|x3或x1；（2）f（x）|ax+1|+|xa|，若0a1，则f（x）minf（a）a2+1，a2+1，解得：a或a，a=1，若a1，则f（x）minf（）a2，a1，综上，a【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及求函数最值问题，是一道中档题