1、第二节空间几何体的表面积与体积课标要求考情分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1.本节内容是高考中的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积的计算等内容2命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时着重考查空间几何体的结构特征等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.知识点一空间几何体的表面积1多面体的表面积多面体的各个侧面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上
2、底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧知识点二空间几何体的表面积与体积公式1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则RA()解析：(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确2小题热身(1)一个球的表面积是16，那么这个球的体积为(B)A B C16 D24(2)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1
3、DC1的体积为(C)A3 B C1 D(3)已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且ABBCAD1，BDAC，BCAD，则球O的体积为(A)ABC2D4(4)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm, 10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为 cm2.(5)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成的角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是64.解析：(1)设球的半径为R，则由4R216，解得R2，所以这个球的体积为R3.(2)由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin60，所以VAB1DC1ADSB1DC121
4、，故选C(3)由题，ABBC1，AC，所以AB2BC2AC2，所以CBA，即BCAB，又BCAD，所以BC平面ABD，因为ABAD1，BD，所以AB2AD2BD2，所以ABAD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R，所以R，则球O的体积VR3，故选A(4)旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S68(cm2)(5)由SAB的面积为8，可得SA28，解得SA4.取圆锥底面圆的圆心为O，连接SO，AO，由SA与圆锥底面所成的角为30，可得圆锥的底面半径AO2，圆锥的高SO2.设圆锥的外接球的半径为R，球心
5、为O，则O在SO的延长线上，连接AO，则AO2AO2OO2，即R2(2)2(R2)2，解得R4，所以该圆锥的外接球的表面积是4R264.考点一空间几何体的表面积【例1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12 C8D10(2)如图，在直角梯形ABCD中，ADAB4，BC2，沿中位线EF折起，使得AEB为直角，连接AB，CD，求所得的几何体的表面积和体积【解析】(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()222
6、12.(2)如图，过点C作CM平行于AB，交AD于点M，作CN平行于BE，交EF于点N，连接MN.由题意可知ABCM，BENC都是矩形，AMDM2，CN2，FN1，ABCM2，所以SAEB222，S梯形ABCD(24)26，S梯形BEFC(23)25，S梯形AEFD(34)27，在直角三角形CMD中，CM2，MD2，所以CD2.又因为DFFC，所以SDFC2，所以这个几何体的表面积为2657146.V1VABEMCNSABEAM2224，V2VCMNFDSMNFDBE(12)222，所以所求几何体体积为V1V2426.【答案】(1)B(2)见解析方法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；
7、组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.1已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(C)A36B64C144D256解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144.2已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为.SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40.解析：如图所示，设S在底面的射影为S，连接AS，SS.SAB的面
8、积为SASBsinASBSA2SA25，SA280，SA4.SA与底面所成的角为45，SAS45，ASSAcos4542.底面周长l2AS4，圆锥的侧面积为4440.考点二空间几何体的体积命题方向1直接利用公式求体积【例2】(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为
9、664144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即6412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)【答案】118.8命题方向2等体积法求体积【例3】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()ABCD【解析】易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.【答案】A命题方
10、向3割补法求体积【例4】已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为_【解析】连接EF，B1D设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1A由题意得，V四棱锥C1B1EDFV三棱锥B1C1EFV三棱锥DC1EFSC1EF(h1h2)a3.【答案】a3方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.1(方向1)如图，
11、正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为(C)A3BC1D解析：如题图，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则ADBC又因为BB1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以V三棱锥AB1DC1SB1DC1AD1.2(方向2)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是.解析：VDA1BCVB1A1BCVA1B1BCSB1BC.3(方向3)如图，在ABC中，AB8，BC10，
12、AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积解：方法1：如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则V几何体V三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为VV1V2722496.方法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.考点三球的接、切问题【例5】(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正
13、三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8B4C2D【解析】因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如图所示因为AB2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R，所以球O的体积VR33，故选D【答案】D方法技巧一个多面体
14、的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种：第一种，当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线长就是外接球的直径；第二种，当棱锥或棱柱比较特殊时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球的截面圆，借助底面三角形或四边形求出截面圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径；第三种，过两个多边形(多边形所在平面不平行)的外心作两个多边形所在平面的垂线，垂线的交点即为外接球的球心，再通过相关关系求半径.已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，则球O的表面积为(B)A10B25C100D125解析：如图，设O1为正三棱锥SABC的底面中心，连接SO1，则SO1是棱锥的高，三棱锥的外接球的球心O在SO1上，设球的半径为R，连接AO1，AO，因为正三角形ABC的边长为2，所以AO122，因为SA2，所以在RtASO1中，SO14，在RtAOO1中，R2(4R)222，解得R，所以球O的表面积为4225，故选B