1、第2课时平面与平面垂直的性质学 习 任 务核 心 素 养1掌握平面与平面垂直的性质定理，学会用定理证明垂直关系(重点)2熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化(难点)1通过学习平面与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养2借助垂直关系的证明，培养数学逻辑推理的核心素养知识点平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？提示正确若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线1已知平
2、面，和直线m，l，则下列命题中正确的是()A若，m，lm，则lB若m，l，lm，则lC若，l，则lD若，m，l，lm，则lDA项中缺少了条件l，故A错误B项中缺少了条件，故B错误C项中缺少了条件m，lm，故C错误D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确2(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD平面ABCD，PAPD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()APEACBPEBCC平面PBE平面ABCDD平面PBE平面PADABC因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，所以PEAC，PEBC，
3、所以A，B结论一定成立又PE平面PBE，所以平面PBE平面ABCD，所以C结论一定成立若平面PBE平面PAD，则AD平面PBE，必有ADBE，此关系不一定成立，故选ABC 类型1面面垂直性质定理的应用【例1】如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：BCAB证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC又BC平面PBC，ADBC又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB又AB平面PAB，BCAB1证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直
4、的性质定理；(3)若ab，a，则b(a，b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线1如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD求证：平面VBC平面VAC证明平面VAB平面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，BC平面VAB又VA平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC，平面VBC平面VAC 类型2线线、线面、面面垂直的综合应用【例2】如图所示，ABC为正三角形，E
5、C平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：解(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE又AEECE，所以DM平面AEC，所以平面BDM平
6、面ECA(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小解如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN中，由，知B为CN中点，CBBN2aABN中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，NAAE，NAAC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45垂直关系的互化及解题策略空
7、间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题2如图，M是半圆弧上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点(1)证明：MC平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明：平面AMD平面BMC证明(1)连接AC，交BD于O，因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MCOP，因为MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD(2)平面C
8、MD平面ABCD，交线为CD，因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM，因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM，又BCCMC，所以DM平面BMC，而DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC1已知m，n为直线，为空间的两个平面给出下列命题：n；mn；，mn其中正确的命题为_(填序号)对于，会有n的情况，因此不正确；对于，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证都是正确的2如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点(不含边界)，若平面A1B1CD平面AEP，则线段AP长度的取值范围是_(，3)连接BC1
9、，依题意可得BC1平面A1B1CD，故只需EPBC1即可，取CC1中点为F，故P在线段EF上(不含端点)AE，AF3，所以线段AP长度的取值范围是(，3)3如图，已知ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，ABBD平面ABC平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CEBD，BD2CE点F为AD中点，连接EF求证：平面AED平面ABD证明取AB中点O，连接OC，OFO，F分别为AB，AD中点，则OFBD且BD2OF又CEBD且BD2CE，CEOF且CEOF，四边形OCEF为平行四边形，EFOCABC为等边三角形，OCAB又平面ABC平面ABD，且平面ABC平面ABDAB，OC平面ABDEFOC，EF平面ABD，又EF平面AED，平面AED平面ABD回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)面面垂直的性质定理的内容是什么？两个平面垂直还具备哪些性质？(2)线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？