1、第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cos C=() A.24 B.-24C.34 D.-342.在ABC中,若a=18,b=24,A=45,则此三角形有()A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定3.ABC中,c=3,b=1,B=6,则ABC的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=()A.31010 B.1010C.-1010 D.-310105.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c
2、)(sin B+sin C)=(a-3c)sin A,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.1206.(2017北京西城二模,11)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=3,a=3,b=1,则c=.7.(2017北京海淀二模,11)在ABC中,A=2B,2a=3b,则cos B=.8.(2017北京海淀一模,11)在ABC中,c=acos B.A=;若sin C=13,则cos(+B)=.9.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.B组提升题组10.在ABC中,角A,B,C的对边分别
3、为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为() A.3 B.6C.3或23 D.6或5611.(2017北京海淀零模,11)在锐角ABC中,角A、B所对的边长分别为a、b,若2asin B=3b,则角A等于.12.(2017北京东城二模,12)如图,在四边形ABCD中,ABD=45,ADB=30,BC=1,DC=2,cosBCD=14,则BD=;三角形ABD的面积为.13.(2017北京朝阳期中)如图,已知A,B,C,D四点共面,且CD=1,BC=2,AB=4,ABC=120,cosBDC=277.(1)求sinDBC;(2)求AD的长.14.(2017北京西城一模,
4、15)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan C=2csin A.(1)求角C的大小;(2)求sin A+sin B的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.B由题意得,b2=ac=2a2,b=2a,cos C=a2+b2-c22ab=a2+2a2-4a22a2a=-24,故选B.2.BasinA=bsinB,sin B=basin A=2418sin 45,sin B=223.又ab,B为三角形ABC的内角,45B180,B有两个值,即此三角形有两解.3.D根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为
5、直角三角形,故选D.4.C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=29BC2+59BC2-BC2223BC53BC=-1010,故选C.解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在RtADC中,AC=53BC,sinDAC=255,cosDAC=55,又因为B=4,所以cosBAC=cosDAC+4=cosDACcos4-sinDACsin4=5522-25522=-1010,故选C.5.A由asin
6、A=bsinB=csinC及(b-c)(sin B+sin C)=(a-3c)sin A得(b-c)(b+c)=(a-3c)a,即b2-c2=a2-3ac,所以a2+c2-b2=3ac,又因为cos B=a2+c2-b22ac,所以cos B=32,所以B=30.6.答案2解析由得a2=b2+c2-2bccos A得3=1+c2-2ccos3,解得c=2或c=-1(舍去).7.答案34解析因为A=2B,2a=3b,所以由asinA=bsinB得asin2B=2a3sinB,即asin2B=2a3sinB,所以2sin 2B=3sin B,即22sin Bcos B=3sin B,又sin B0
7、,所以cos B=34.8.答案2-13解析在ABC中,c=acos B,c=aa2+c2-b22aca2=b2+c2,由勾股定理的逆定理得A=2.由可知B+C=2,因为sin C=13,所以cos(+B)=-cos B=-cos2-C=-sin C=-13.9.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.因为0A34,所以当A=4时,2cos A+cos
8、 C取得最大值1.B组提升题组10.C由余弦定理知a2+c2-b2=2accos B,(a2+c2-b2)tan B=3ac,2accos BsinBcosB=3ac,sin B=32,B=3或23.11.答案60解析由已知及正弦定理得2sin Asin B=3sin B,sin B0,sin A=32,A为锐角,A=60.12.答案2;3-1解析在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BCDCcosBCD=1+4-21214=4,BD=2.在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=BDsinBAD,AB=BDsinADBsinBAD=2sin30sin(180-45-30)=6-2
9、,SABD=12ABBDsinABD=12(6-2)222=3-1.13.解析(1)在BDC中,因为cosBDC=277,所以sinBDC=217.又DC=1,BC=2,所以由正弦定理得,sinDBC=DCsinBDCBC=2114.(2)在BDC中,由BC2=DC2+DB2-2DCDBcosBDC得,4=1+DB2-2DB277,所以DB2-477DB-3=0,解得DB=7或DB=-377(舍).由已知得DBC是锐角,又sinDBC=2114,所以cosDBC=5714,所以cosABD=cos(120-DBC)=cos 120cosDBC+sin 120sinDBC=-125714+322
10、114=-714.在ABD中,因为AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+7-247-714=27,所以AD=33(舍负).14.解析(1)由 atan C=2csin A,得acsinCcosC=2sin A.由正弦定理得sinAsinCsinCcosC=2sin A,所以cos C=12.因为C(0,),所以C=3.(2)由(1)可知B+A=23,所以sin A+sin B=sin A+sin23-A=32sin A+32cos A=3sinA+6.因为C=3,所以0A23,所以6A+656,所以12sinA+61,所以323sinA+63,所以sin A+sin B的取值范围是32,3.
