1、第3课时正弦定理习题课学 习 任 务核 心 素 养1熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2能根据条件，判断三角形解的个数3能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1通过对三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养2借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养天塔是天津广播电视塔的简称，耸立于碧波与云霄之间，是世界上唯一一座“水中之塔”，其势如剑倚天，享有“天塔旋云”之美称问题：走在天塔附近，你能估计出天塔的大致高度吗？知识点1正弦定理及其变形(1)定理内容：2R(R为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：s
2、in Asin Bsin Cabc；2R；a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B01在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形B由正弦定理可得sin Asin C，即ac，所以ABC为等腰三角形2在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()
3、A一解 B两解C无解 D无法确定A由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解知识点2三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABCbcsin Aacsin Babsin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABCah，其中a为ABC的一边长，而h为该边上的高的长(3)SABCr(abc)rl，其中r，l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为_3由Sabsin C43得S34已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)2c24，C120，则ABC
4、的面积为_将c2a2b22abcos C与(ab)2c24联立，解得ab4，则SABCabsin C 类型1三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30 解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，三角形有两解由正弦定理得sin B，又B(0，180)，B160，B2120当B160时，C190，c14；当B2120时，C230，c22B160时，C190，c14；B2120时，C23
5、0，c22已知三角形的两角和任意一边，求其它的边和角，此时有唯一解；若已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，你认为此时如何确定解的个数？提示1从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：(1)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为0；(2)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sin B1，则满足条件的三角形的个数为1或2显然由0sin B1可得B有两个值，一个大于90，一个小于90，考虑到“大边对大角”
6、“三角形内角和等于180”等，此时需进行讨论2从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：图形关系式解的个数A为锐角absin A；ab一解bsin Aab两解absin A无解A为钝角或直角ab一解ab无解1在ABC中，b4，c2，C30，那么此三角形()A有一解B有两解C无解 D解的个数不确定C法一：由正弦定理和已知条件，得，sin B1，此三角形无解法二：c2，bsin C2，cbsin C，故此三角形无解法三：作ACD30，ACb4，以A为圆心，ABc2为半径画圆(图略)，该圆与CD无交点，则此三角形无
7、解2在ABC中，B60，c2，若满足条件的三角形有两个，则b的取值范围为_(，2)因为满足条件的三角形有两个，所以csin Bbc，将B60，c2代入，解得b2 类型2三角形的面积【例2】在ABC中，若a2，C，cos ，求ABC的面积S解cos ，cos B2cos2 1B，sin BC，sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cSacsin B2已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为Sabsin Cacsin Bbcsin A3(1)在ABC中，若a3，cos C，SABC4，则b_ (2)在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于
8、_(1)2(2)或(1)cos C，C(0，90)，sin C，又SABCabsin C3b4，b2(2)由正弦定理得sin C，又C(0，180)，C60或120，A90或30，SABCABACsin A或 类型3正、余弦定理在几何图形中的应用【例3】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB，BC，ABAD，ACCD(1)若sinBAC，求sinBCA；(2)若AD3AC，求AC解(1)在ABC中，由正弦定理得，即，解得sinBCA(2)设ACx，AD3x，在RtACD中，CD2x，sinCAD在ABC中，由余弦定理的推论得，cosBAC又BACCAD，所以cosBACsinCAD，即，整理得
9、3x28x30，解得x3或x(舍去)，即AC3正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.4如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的长解(1)在DAC中，由余弦定理的推论，得cosCAD，所以cosCAD(3)因为BAD为四边形内角，所以sinBAD0，且sinCAD0，所以sinBAD，sinCAD，所以sinBACsin(BA
10、DCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD，在ABC中，由正弦定理得，代入数据得BC31在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a1，b，B60，则ABC的面积为()ABC1DBa1，b，B60，由正弦定理可得：sin A，ab，A60，A30，C180AB90，SABCab1故选B2如图，在四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A B5 C6 D7B连接BD(图略)，在BCD中，由已知条件，知DBC30，ABD90在BCD中，由余弦定理知，BD2BC2CD22BCCDcosC2222222cos 12012，BD2，S四边形ABC
11、DSABDSBCD4222sin 12053不解三角形，则下列说法中正确的是()Aa7，b14，A30，有两解Ba30，b25，A150，有一解Ca6，b9，A45，有两解Da9，b10，A60，无解BA中absin A，有一解；B中A90，ab，有一解；C中absin A，无解；D中babsin A，有两解4在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_，a_ 2由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sin A，b5，B，由正弦定理，得a25在ABC中，若abc135，则_由条件得，sin Asin C同理可得sin Bsin C回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)正弦定理有哪些常见变形？(2)三角形的面积公式有哪些？(3)如何判断三角形解的个数？