1、2014-2015学年广东省深圳市西乡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，满分50分，每小题的4个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项选出。1设命题p：xR，x2+10，则p为( )Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10DxR，x2+102不等式（x+1）（2x）0的解集是( )A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）3双曲线3x2y2=3的渐近线方程是( )Ay=3xBy=xCy=xDy=x4抛物线y=2x2的准线方程是( )ABCD5若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是
2、( )ABCD6在ABC中，“A=B”是 “sinA=sinB”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知x1，则y=x的最小值为( )A1B2C2D38函数y=在x=处的切线方程是( )Ay=4xBy=4x4Cy=4（x+1）Dy=2x49记等差数列an的前n项和为Sn若a5+a21=a12，那么S27=( )A2015B2014C2013D010不等式x2a2等价于( )AxaBaxaCxa或xaDx|a|或x|a|二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共30分.11A为ABC的内角，若cosA=，则sin（B+C）等于_12数列，的一个通项公式是_1
3、3命题“若x1，则（x1）（x+3）0”的等价命题是“_；它是_命题（填：“真”或“假”）14已知xR，yR，那么不等式组表示的平面区域的面积是_三、解答题：本题共6小题，满分80分：解答应写出文字说明证明过程或演算步聚.15设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值16已知关于x的不等式2x2+（3a7）x+3+a2a20的解集为A（1）若0A，求a的取值集合；（2）在（1）中，若aZ，求A17（14分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边若a=1，c=，cosC=（1）求sinA的值；（2）求ABC的面积18（
4、14分）设函数f（x）=（mR）（1）当m=1时，解不等式f（x）2；（2）若f（x）lnx在（0，+）上恒成立，求m的取值范围19（14分）记数列an的前n项和为Tn，且an满足a1=1，an=3n1+an1（n2）（1）求a2、a3的值，并求数列an的通项公式an；（2）证明：Tn=20（14分）设F1，F2分别为椭圆C：+=1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4（1）求椭圆的方程（2）若K为椭圆C上的一点，且F1KF2=30，求F1KF2的面积2014-2015学年广东省深圳市西乡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共10个小题，每
5、小题5分，满分50分，每小题的4个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项选出。1设命题p：xR，x2+10，则p为( )Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10DxR，x2+10考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项解答：解命题p：xR，x2+10，是一个特称命题p：x0R，x02+10故选B点评：本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键2不等式（x+1）（2x）0的解集是( )A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式
6、的解法及应用分析：根据一元二次不等式的解法，进行求解解答：解：方程（x+1）（2x）=0，解得其根为x=1或x=2，（x+1）（2x）0，（x+1）（x2）0，解得1x2，该不等式的解集是（1，2）故选：D点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题3双曲线3x2y2=3的渐近线方程是( )Ay=3xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：双曲线3x2y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线解答：解：双曲线3x2y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得故选C点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解4抛物线y=2x2的准线方程
7、是( )ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可解答：解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=，故选：D点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误5若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是( )ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的标准方程为：（ab0）焦距为2c根据椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，可得22c=2a+2b，化简再利用b2=a2c2即可得出解答：
8、解：设椭圆的标准方程为：（ab0）焦距为2c椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，22c=2a+2b，化为2c=a+b，（2ca）2=b2=a2c2，化为：5c4a=0，=故选：A点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6在ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可解答：解：在ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sin
9、B，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键7已知x1，则y=x的最小值为( )A1B2C2D3考点：基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由于x1所以x10，将函数解析式上减去1再加上1，凑成两部分的乘积为定值，利用基本不等式求出函数的最小值解答：解：x1，=当且仅当，即x=2时取等号故答案为 D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值需要满足的条件是：一正、二定、三相等8函数y=在x=处的切线方程是( )Ay=4xBy=4x4Cy=4（x+1）
10、Dy=2x4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出函数的导函数，把x=代入即可得到切线的斜率，然后根据切点和斜率写出切线的方程即可解答：解：由函数y=知y=，把x=代入y得到切线的斜率k=4，又切点为（，2），则切线方程为：y+2=4（x），即4xy4=0故选B点评：考查学生会利用导数求曲线上在某点处的切线方程，考查计算能力，注意正确求导9记等差数列an的前n项和为Sn若a5+a21=a12，那么S27=( )A2015B2014C2013D0考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知式子和等差数列的通项公式可得a14，再由等差数列的
11、求和公式和性质可得S27=27a14，代值计算可得解答：解：设等差数列an的公差为d，a5+a21=a12，2a1+24d=a1+11d，a1+13d=0，即a14=0，S27=27a14=0，故选：D点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，求出a14是解决问题的关键，属基础题10不等式x2a2等价于( )AxaBaxaCxa或xaDx|a|或x|a|考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：根据绝对值的性质即可求出不等式的解集解答：解：不等式x2a2|x|a|x|a|或x|a|，故选：D点评：本题考查不等关系与不等式，关键在于合理转化属于基础题二、填空题：本大题共4
12、小题.每小题5分，共30分.11A为ABC的内角，若cosA=，则sin（B+C）等于考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：由条件求得A=，利用诱导公式求得sin（B+C）=sin的值解答：解：A为ABC的内角，cosA=，A=，则sin（B+C）=sin=sin=，故答案为：点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题12数列，的一个通项公式是an=考点：数列的概念及简单表示法 专题：等差数列与等比数列分析：由数列，可知：分子为奇数组成的数列，分母为首项为2且公比为2的等比数列，即可其通项公式解答：解：由数列，可知：分子为奇数组成的数列，分母为首项为2且公比为2的等
13、比数列，因此其通项公式为an=故答案为：an=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13命题“若x1，则（x1）（x+3）0”的等价命题是“若（x1）（x+3）0”，则x1；它是真命题（填：“真”或“假”）考点：四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据二次函数的图象和性质，可得命题“若x1，则（x1）（x+3）0”为真命题，进而写出其逆否命题，可得答案解答：解：命题“若x1，则（x1）（x+3）0”为真命题，其等价命题即命题的逆否命题，其逆否合理为：“若（x1）（x+3）0”，则x1”，故答案为：“若（x1）（x+3）0”，
14、则x1”，真点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，熟练掌握四种命题之间真假性的辩证关系是解答的关键14已知xR，yR，那么不等式组表示的平面区域的面积是18考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出不等式组表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分，求得A、B、C各个点的坐标，可得直角三角形ABC的面积解答：解：不等式组表示的平面区域为等腰三角形ABC及其内部的部分，如图所示：容易求得A（3，6），B（3，6），O（0，0），不等式组表示的平面区域的面积是直角三角形ABC的面积，即 ABOC=16，故答案为：18点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，
15、体现了数形结合的数学思想，属于基础题三、解答题：本题共6小题，满分80分：解答应写出文字说明证明过程或演算步聚.15设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 分析：（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项（2）由上面得到的首项和公差，写出数列an的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值解答：解：（1）由an=a1+（n1）d及a3=5，a10=9得a1+9d=9，a1+2d=5解得d=2
16、，a1=9，数列an的通项公式为an=112n（2）由（1）知Sn=na1+d=10nn2因为Sn=（n5）2+25所以n=5时，Sn取得最大值点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性16已知关于x的不等式2x2+（3a7）x+3+a2a20的解集为A（1）若0A，求a的取值集合；（2）在（1）中，若aZ，求A考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）由0A，可得2a2a30，利用一元二次不等式的解法即可得出；（2）由aZ，利用（1）可得a=0，a=1分别代入解出即可解答：解：（1）0A，3+
17、a2a20，即2a2a30，分解因式为：（a+1）（2a3）0，解得，a的取值集合为（2）aZ，a=0，a=1当 a=0时，2x27x+30，即（x3）（2x1）0， 当a=1时，x22x+10，即（x1）20，A=（，1）（1，+）点评：本题考查了一元二次不等式的解法、因式分解方法、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（14分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边若a=1，c=，cosC=（1）求sinA的值；（2）求ABC的面积考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，再利用正弦定理求得sinA的值（2
18、）由条件利用余弦定理求得b的值，可得ABC的面积 的值解答：解：（1），0C，根据正弦定理：，即 （2）根据余弦定理 c2=a2+b22abcosC，即 ，即 2b23b2=0b0，b=2，=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题18（14分）设函数f（x）=（mR）（1）当m=1时，解不等式f（x）2；（2）若f（x）lnx在（0，+）上恒成立，求m的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法 专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）可以转换为二次不等式x（x1）0，利用二次不等式进行求解（2）把恒成立问题转换为最值问题，求xlnxx
19、的最小值即可解答：解：（1）当m=1时，2，0，x（x1）0 （x0），不等式的解集为（0，1（2）在（0，+）上恒成立，令g（x）=xlnxx，则 g（x）=lnx，显然：0x1时，g（x）0，g（x）单调递减；x1时，g（x）0，g（x）单调递增，所以：g（x）min=g（1）=1，所以：m1点评：考查了二次不等式和恒成立问题利用导数判断函数的最值时常考题型，需熟练掌握19（14分）记数列an的前n项和为Tn，且an满足a1=1，an=3n1+an1（n2）（1）求a2、a3的值，并求数列an的通项公式an；（2）证明：Tn=考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1
20、）由已知依次令n=1和n=2，能求出a2、a3的值，再利用累加法能求出an的通项公式（2）利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明Tn=解答：（1）解：an满足a1=1，an=3n1+an1（n2），a2=3+a1=4，=13anan1=3n1，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+3+32+3n1=数列an的通项公式an=（2）证明：an=，Tn=（31）+（321）+（331）+（3n1）=，Tn=点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用20（14分）设F1，F2分别为椭圆C：+
21、=1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4（1）求椭圆的方程（2）若K为椭圆C上的一点，且F1KF2=30，求F1KF2的面积考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由点A到F1，F2两点的距离之和等于4可得2a=4，解得a又点在椭圆上，可得 ，解得b2，即可得出（2）=1记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，可得mn利用 ，即可得出解答： 解：（1）点A到F1，F2两点的距离之和等于42a=4，解得 a=2又点在椭圆上，解得b2=3，所以所求椭圆的方程为（2）=1记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，又 ，点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题