1、10.1.3古典概型学 习 任 务核 心 素 养1结合具体实例，理解古典概型(重点)2能计算古典概型中简单随机事件的概率(重点、难点)1通过对古典概型概念的学习，培养数学抽象素养2通过计算古典概型的概率，培养数学建模、数学运算素养据西墅记所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”骰子停定，正好重四唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色问题：您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同
2、的结果，你能写出对应的样本空间吗？点数之和不大于7这一事件包含哪几个样本点？你能求出对应事件的概率吗？这个事件对应的概率是什么类型的概率？求解此类概型的概率的方法是什么？知识点1概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示知识点2古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)“在区间0,10上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？(2)若一次试验的结果所包含的样
3、本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？提示(1)不属于古典概型因为在区间0,10上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型(2)不一定是古典概型还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)任何一个事件都是一个样本点()(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等()(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的()答案(1)(2)(3)2下列试验是古典概型的有_(填序号)(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；(3)从甲、乙
4、、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表(3)(1)这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型(2)属于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型(3)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型知识点3古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数3从甲、乙、丙三人中
5、任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()ABCD1C从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P4从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为 类型1古典概型的判断【例1】下列是古典概型的是()A任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本
6、点时B求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止CA项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是判断一个试验是否为古典概型的依据是什么？提示判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性，二者缺一不可1下列试验是古典概型的为_(填序号)从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
7、近三天中有一天降雨的概率；10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响 类型2较简单的古典概型问题【例2】(对接教材P236例9)某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率解只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品分为两种情况：1听不合格和2听都不合格设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6
8、)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个样本点有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为求解古典概率“四步”法2现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6任取2道题，这个试验的样本空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5
9、)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共含有6个样本点，所以P(A)(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共包含8个样本点，所以P(B) 类型3较复杂的
10、古典概型问题【例3】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以样本点总数n16(1)记“xy3”为事件A，则
11、事件A包含的样本点个数共5个，即A(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C则事件B包含的样本点共6个，即B(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(B)事件C包含的样本点共5个，即C(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以P(C)因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率1在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间与点集S(x，y)|xN，yN，1x4,1y4一一对应因为S中元素的个
12、数是4416，所以样本点总数n16记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，即E(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(E)2将例3中奖励规则改为：若3xy5，则奖励玩具一个；其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以样本点总数n16记“3xy5”为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，即D(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,
13、3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，所以P(D)解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.3某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的
14、概率解记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2,2名女职工为b1，b2(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种故选出的2名职工性别相同的概率为(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A
15、1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，其9种故选出的2名职业来自同一工厂的概率为1下列试验是古典概型的是()A口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，
16、基本事件为取中白球和取中黑球B在区间1,5上任取一个实数x，使x23x20C抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶C根据古典概型的两个特征进行判断A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征2甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()ABCDC样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P3标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，
17、则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A B C DA如图：基本事件的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件有10个，故所求概率P故选A4史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”双方从各自的马匹王中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A B C DA设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为故选A5将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p(m，n)，q(2,6)，则向量p与q共线的概率为_试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6636种结果，满足条件的事件是使向量p(m，n)与q(2,6)共线，即6m2n0，n3m，满足这种条件的有(1,3)，(2,6)，共有2种结果，向量p与q共线的概率P回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何判断一个试验是不是古典概型？古典概型的特征有哪些？(2)古典概型的概率公式是什么？