1、第三章DISANZHANG导数应用2导数在实际问题中的应用课后篇巩固提升A组1.已知正四棱锥的侧棱长为23,那么当该棱锥体积最大时,它的高为()A.1B.3C.2D.3解析设底面边长为a(a0),则高h=(23)2-22a2=12-a22,所以体积V=13a2h=1312a4-12a6.设y=12a4-12a6,则y=48a3-3a5,令y=48a3-3a5=0,解得a=4.当a4时,y0,函数y=12a4-12a6在区间(4,+)上是减少的,当0a0,函数y=12a4-12a6在区间(0,4)上是增加的,所以当a=4时,函数y=12a4-12a6取得最大值,即此时体积最大,此时h=12-a2
2、2=2.故选C.答案C2.函数y=xex在0,2上的最大值是()A.当x=1时,y=1eB.当x=2时,y=2e2C.当x=0时,y=0D.当x=12时,y=12e解析y=ex-xex(ex)2=ex(1-x)e2x,令y=0,则x=1,当0x0,当1x2时,y0,x=1时,y取得极大值,也就是最大值1e.答案A3.如图,设有定圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图像大致是()解析由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快.A项表示面积的增速是常数,与实际不符.B项表示
3、最后时段面积的增速较快,也与实际不符.C项表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符.D项表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段较快,符合实际.答案D4.已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在13,3上的最大值是()A.2ln 3-92B.-52C.-2ln 3-1718D.2ln 2-4解析由题意,f(x)=2x+2ax-3且f(2)=0,a=12,则f(x)=2x+x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x,当1x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.f(3)=2ln3-92f(1)=-52,f(x)在13,3上的最大值是2ln3-9
4、2.故选A.答案A5.根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=60x-20+2(x-50)2,其中20x50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得的利润最大为()A.8 600元B.8 060元C.6 870元D.4 060元解析设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)60x-20+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,20x0,得20x30,则f(x)在(20,30)上是增加的;令f(x)0,得30x50,则f(x)在(30,50)上是减少的.所以f(x)的最大值为
5、f(30)=8060.故选B.答案B6.函数f(x)=12ex(sin x+cos x)在区间0,2上的值域为.解析x0,2,f(x)=excosx0,即f(x)在0,2上是增加的.f(0)f(x)f2,即12f(x)12e2.答案12,12e27.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价P(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系,P(t)=P0(1+5%)t,其中P0为t=0时的物价,假定某种商品的P0=1,则在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是元/年.(精确到0.01)解析P0=1,P(t)=(1+5%)t=1.05t,在第10个年头,这种商品价格上涨的速度,即为函数
6、的导数在t=10时的值.P(t)=(1.05t)=1.05tln1.05,P(10)=1.0510ln1.050.08(元/年).答案0.088.在半径为r的圆内,作内接等腰三角形,当底边上的高为时,它的面积最大.解析如图,设OBC=,则02,OD=rsin,BD=rcos.SABC=rcos(r+rsin)=r2cos+r2sincos.令SABC=-r2sin+r2(cos2-sin2)=0.得cos2=sin.又0x,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=x2-lnx-x,f(x)=(2x+1)(x-1)x.当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)=0.(2)
7、由f(x)x,得f(x)-x=x2-lnx-(a+1)x0.由于x0,所以f(x)x等价于x-lnxxa+1.令g(x)=x-lnxx,则g(x)=x2-1+lnxx2.当x(0,1)时,g(x)0.故g(x)有最小值g(1)=1.故a+11,即a的取值范围是(-,0).10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩在桥面距离计算中都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2
8、)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=mx-1,所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256(0xm).(2)对(1)中函数f(x)求导得,f(x)=-256mx2+12mx-12=6402x2(x32-512)=320x2(x32-512)(0x640).令f(x)=0,解得x32=512,即x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)上是减少的;当640,f(x)在区间(64,640上是增加的.所以f(x)在x=64处取得极小值,也是最
9、小值,此时n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.B组1.函数f(x)=6x-x3+6在0,4上的最大值与最小值之和为()A.-46B.-35C.6D.5解析由f(x)=6x-x3+6,得f(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f(x)=0可得x=1,当x(0,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0,所以f(x)的极大值为f(1)=11.又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B.答案B2.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,
10、则横断面的高和宽分别为()A.3d,33dB.33d,63dC.63d,33dD.63d,3d解析如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y,由题意知,当xy2取最大值时,横梁的强度最大.y2=d2-x2,xy2=x(d2-x2)(0xd).令f(x)=x(d2-x2)(0xd),求导数,得f(x)=d2-3x2.令f(x)=0,解得x=33d或x=-33d(舍去).当0x0;当33dxd时,f(x)0.因此,当x=33d时,f(x)取得极大值,也是最大值.综上,当矩形横断面的高为63d,宽为33d时,横梁的强度最大.答案C3.设常数0a0时,ex-10,y0.由以上可知,在区间0,a上,当x=a
11、时,有最大值e-a-e-2a,当x=0时,有最小值0.答案e-a-e-2a04.某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能力,进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技改投入比率为x60-x(0,5.(1)求技改投入x的取值范围;(2)当技改投入为多少万元时,所获得的产品的增加值最大,其最大为多少万元?解(1)由题意,x60-x(0,5,x0,所以0x50,所以技改投入x的取值范围是(0,50.(2)设f(x)=(60-x)x2,x(0,50,则f(x)=-3x(x-40),当0x0,当40x50时,f
12、(x)0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,显然x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)上是减少的,在(x1,x2)上是增加的.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上是增加的,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上是增加的,在x2,1上是减少的,因此f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.
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