1、第四节数列求和课标要求考情分析1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.本节是高考重点考查的内容之一，数列求和主要考查：(1)等差数列和等比数列的求和(2)使用裂项相消法、错位相减法求和(3)根据周期性、奇偶数项的不同分组求和2命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.知识点数列求和的几种常用方法1分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比
2、数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减2裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的4倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的5并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解1思考辨析
3、判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn.()(2)sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和()(3)当n2时，.()(4)求数列的前n项和可用分组求和()解析：(1)因为数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn.(2)因为sin21sin289sin22sin288sin23sin2871，所以sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和(3)因为.(4)因为数列是由一个等比数列与一个等差数列2n3的和数列，所以求数列的前n项和可以用分
4、组求和2小题热身(1)数列12n1的前n项和为(C)A12n B22nCn2n1Dn22n(2)在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为(D)A2 016B2 017C2 018D2 019(3)(B)ABCD(4)数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S179.(5)已知数列an的通项公式为an则an的前10项和S1050.解析：(1)由题意得an12n1，所以Snnn2n1.(2)因为an，所以Sn11，所以n2 019.(3)令Sn，Sn，得，Sn，所以Sn.(4)S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.(
5、5)S105954(2)5154250.考点一分组求和法【例1】已知数列an是等差数列，且a29，a417.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an3n的前n项和Sn.【解】(1)设数列an的公差为d，则2da4a28，d4，ana2(n2)d94(n2)4n1.(2)Sn(a1a2an)(3323n)2n23n.方法技巧某些数列在求和时将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列通项的和或差，从而间接求得原数列的和，注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.已知等差数列an的公差为d，且方程a1x2dx30的两个根分别为1,3.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an2an，求数
6、列bn的前n项和Sn.解：(1)由题知解得故数列an的通项公式为ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由(1)知，bn2an2an22n12(2n1)4n2，则Sn(442434n)(26104n2)2n2.考点二并项求和法【例2】(1)数列an的通项公式是an(1)n(2n1)，则该数列的前100项之和为()A200 B100 C200D100(2)已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0B100 C100D10 200【解析】(1)由题意知S100(13)(57)(197199)250100.(2)由题意，得a1a2a3a1001222223232
7、424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)5010150103100.【答案】(1)D(2)B方法技巧一个数列求和可奇偶项相消，一般把数列奇偶项结合进行求和.已知数列an的通项公式是ann2sin，则a1a2a3a2 018等于(B)ABCD解析：ann2sin所以a1a2a3a2 018122232422 01722 0182(2212)(4232)(2 01822 0172)12342 018.考点三错位相减法【例3】已知数列an的前n项和为Sn，且满足an0，Sn(an1)2.数列bn满足b11，
8、.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若对一切nN*，恒成立，求实数的最小值【解】(1)Sn(an1)2，当n1时，a1S1(a11)2，(a11)20，a11；当n2时，anSnSn1(an1)2(an11)2，aa2an2an10，(anan1)(anan12)0，an0，anan10，anan12(n2)数列an是等差数列，首项为1，公差为2.an12(n1)2n1.由，得an1bn12anbn，又a1b11，数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，anbn2n1，bn.(2)令Tn，则Tn1，Tn，得Tn1212123，Tn6.bn0，Tn随着n的增大而增大，当n时，Tn6，且
9、Tn对一切nN*恒成立，6，min6.方法技巧用错位相减法求和的三个注意事项：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公
10、比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12.而b12，所以q2q60.又因为q0，所以解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，有a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述两式相减，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.
11、得Tn4n1.所以，数列a2nb2n1的前n项和为4n1.考点四裂项相消法【例4】已知数列an满足an1an0(nN*)，且a2，a32，a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围【解】(1)数列an满足an1an0(nN*)，可得数列an是公比为2的等比数列，又知a2，a32，a4成等差数列，可得2(a32)a2a4，即2(4a12)2a18a1，解得a12，则an2n.(2)bn，可得Tn1，由2n14可得，故Tn的取值范围为.方法技巧使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.1数列an满足：a11，且对任意的m，nN*，都有amnamanmn，则(D)ABCD解析：因为a11，且对任意的m，nN*都有amnamanmn，所以an1ann1，即an1ann1，用累加法可得ana1，所以2，所以2.2设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5，则数列的前9项和为.解析：由SnS5得即得d，又a2为整数，所以d2，ana1(n1)d112n，所以数列的前n项和Tn，所以T9.