1、吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二数学4月月考试题 文（含解析）第卷（选择题）一、单选题1. 点的直角坐标化成极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.【详解】由点M的直角坐标可得：，点M位于第二象限，且，故，则将点的直角坐标化成极坐标为.本题选择D选项【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 根据下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）A. 总工程师和专家办公室B. 总工程师、专家办公室和开发部C. 开发部D. 总工程师、专家办公室和所有七个部【答案】B【解析】【分
2、析】按照结构图的表示，就是总工程师、专家办公室和开发部读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序本题是一个从上到下的顺序，先看总经理，他有三个分支：总工程师、专家办公室和开发部【详解】按照结构图的表示一目了然，就是总工程师、专家办公室和开发部读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序故选【点睛】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读3. 利用反证法证明：若，则，假设为()A. 都不为0B. 不都为0C. 都不为0，且D. 至少有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定
3、为或，判断结果.【详解】的否定为，即，不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.4. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长.【详解】由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为2.【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意
4、在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式求解.5. 设点 球坐标是，则它的直角坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用球坐标与直角坐标的变换公式即可求解【详解】由球坐标与直角坐标的变换公式，得，故点 的直角坐标是.故选A【点睛】本题考查球坐标与直角坐标的变换公式，熟记公式是关键，是基础题6. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据复数的运算法则求出，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题，在复平面对应的
5、点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.7. 某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月销售量（件）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A. 58件B. 40件C. 38件D. 46件【答案】D【解析】试题分析：由表格得为：，因为在回归方程上且，解得，当时，故选D.考点：1、线性回归
6、方程的性质；2、回归方程的应用.8. 已知下表：则的位置是（ ）A. 第13行第2个数B. 第14行第3个数C. 第13行第3个数D. 第17行第2个数【答案】C【解析】分析：根据数阵，第n行的最后个数为第项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为，故当时，最后一个数为，所以是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.9. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙
7、、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学
8、思想，属于中等题.10. 已知圆C的参数方程为 (为参数)，当圆心C到直线kxy40的距离最大时，k的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出圆C的普通方程，再求出直线过的定点A(0,-4)，再利用数形结合求出k的值.【详解】圆C的普通方程为(x1)2(y1)21，所以圆心C(1，1)直线kxy40过定点A(0，4)，故当CA与直线kxy40垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA5，所以k，所以k.【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是数形结合分析推理出当CA与直线kx+y+
9、4=0垂直时，圆心C到直线的距离最大.11. 如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.12. 我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它
10、体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】可设，则，解得：故选：【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.第卷（非选择题）二、填空题13. 平面直角坐标系中，若点经过伸缩变换后的点为，则极坐标系中，极坐标为的点到极轴所在直线的距离等于_【答案】1【解析】【分析】根据伸缩变换求得点的坐标，则根据对应点的坐标即可容易求得结果.【详解】因为点，不妨设其直
11、角坐标下对应点的坐标为，故可得，故其在直角坐标系下对应的点为，则，故.故点在极坐标系下的对应坐标为，则点到极轴所在直线的距离等于.故答案为：.【点睛】本题考查伸缩变换，以及直角坐标和极坐标之间的相互转化，属综合基础题.14. 设复数虚数单位),的共轭复数为，则_.【答案】【解析】分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为，所以，故答案为.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题解题时一定要注意和15. 在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_.【答案】【解析】【分析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a
12、值.【详解】解：圆方程化为：，化为直角坐标方程为：，直线化为直角坐标方程为：，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（，0），所以，解得：1.故答案为1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.16. 直线和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为_.【答案】【解析】【分析】设点C坐标为椭圆的参数形式，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可求解.【详解】设，则点C到AB的距离其中.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线的距离、三角函数的性质，属于基础题.三、解答题17. 用综合法或分析法证明：（1）
13、如果 ，则 ；（2）【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx在（0，+）上增函数即可证明；（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止【详解】证明：（1）当a，b0时，有0，lglg，lg lg （ab）=lg；（2）要证+2+2，只要证（+）2（2+2）2，即22，显然成立的，所以，原不等式成立【点睛】本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退
14、休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄（岁）支持“延迟退休年龄政策”人数155152817（I）由以上统计数据填写下面的列联表；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持不支持总计（II）通过计算判断是否有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式：【答案】（I）列联表见解析；（II）有
15、.【解析】【分析】（I）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II）算出观测值与3.841比较.【详解】（I）由统计数据填写的列联表如下：年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持354580不支持15520总计5050100（II）计算观测值，有的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.19. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐
16、标方程；（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)消去参数求解直线l的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C的直角坐标方程.(2)利用参数的几何意义,联立直线与圆C的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由,两式相加可得,即.又,即即. (2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,代入有,则.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.20. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
17、的极坐标方程为（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）根据，求出直线和曲线的直角坐标方程；（2）求出， ，根据，求出直线的斜率即可【详解】（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故其极坐标方程为，又，故；（2）由题意，直线l极坐标为，设、对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得：，故，故，则，即 ，所以 故直线的斜率是【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题21. 某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的
18、关系如表所示年份（年） 01234人口数（十万）5781119（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数参考公式：【答案】（1）；（1）约万【解析】【分析】（1）先求出年份和人口数的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，得到线性回归方程；（2）当代入回归直线方程，即可求得【详解】解：（1）， ，故关于的线性回归方程为； （2）当时，即 据此估计2012年该城市人口总数约为万【点睛】本题考查采用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题22
19、. 已知函数.（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，曲线在，两点处的切线斜率分别为，求证：+.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，设，分离参数转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性，得到函数的最值，即可得到实数的取值范围；（2）由，得，不妨设，利用导数求得两点的斜率，得到+ ，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可作出证明.【详解】（1） ，设，函数在上是增函数， 在上恒成立，即在上恒成立，设，则，在上是增函数，由在上恒成立，得， ，即的取值范围是.（2） ，由，得，不妨设. ， + ，设，则，时，时，所以为的极大值点，所以的极大值即最大值为，即，且，且，+ .【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型