1、课后素养落实(三十六)用二分法求方程的近似解 (建议用时：40分钟)一、选择题1下面关于二分法的叙述中，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点B用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D错误，故选B.2函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)0，f(1.25)0，则方程
2、的解所在区间为()A(1.25,1.5)B(1,1.25)C(1.5,2)D不能确定A由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)3若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A1.25B1.375C1.42D1.5C由表格可得，函数f(x)x3x22x2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间结合选项可知，方
3、程x3x22x20的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4用二分法求函数f(x)2x3x7在区间0,4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A(0,1)B(0,2) C(2,3)D(2,4)B因为f(0)200760，f(2)22670，所以f(0)f(2)0，所以零点在区间(0,2)内5在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4B2,1CDD第一次所取的区间是2,4，第二次所取的区间可能为2,1，1,4，第三次所取的区间可能为，.二、填空题6已知函数f(x)x32x2，f(1)f(2)0，用二
4、分法逐次计算时，若x0是1,2的中点，则f(x0)_.1.625由题意，x01.5，f(x0)f(1.5)1.625.7在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即得出方程的一个近似解为_(精确度为0.1)0.687 5(答案不唯一)f(0.625)0，f(0.687 5)0，方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.750.687 5|0.1，方程的一个近似解为0.687 5.8如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测
5、_次6第1次取中点把焊点数减半为32，第2次取中点把焊点数减半为16，第3次取中点把焊点数减半为8，第4次取中点把焊点数减半为4，第5次取中点把焊点数减半为2，第6次取中点把焊点数减半为1，所以至多需要检测的次数是6.三、解答题9用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9由表中的数据，求方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)解因为f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5
6、，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 50.1，因此1.312 5是一个近似解10已知方程2x2x5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1)参考数值：x1.187 51.1251.251.312 51.3751.52x2.2782.1812.3782.4842.5942.83解(1)令f(x)2x2x5.因为函数f(x)2x2x5在R上是增函数，所以函数f(x)2x2x5至多有一个零点因为f(1)2121510，所以函数f(x)2x2x5的零点在(1
7、,2)内(2)用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.25,1.312 5)因为|1.3751.25|0.1250.1，且|1.312 51.25|0.062 50时，f(x)0；当x0，所以f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值其余选项均可，故选ABD.2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到
8、0.1的正实数零点的近似值为()A0.68B0.72 C0.7D0.6C已知f(0.64)0，f(0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64,0.72，又0.68(0.640.72)，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68,0.72，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值3已知函数f(x)ln(x2)2xm(mR)的一个零点附近的函数值的参考数据如表：x00.50.531 250.562 50.6250.751f(x)1.3070.0840.0090.0660.2150.5121.099由二分法，方程ln(x2)
9、2xm0的近似解(精确度0.05)可能是()A0.625B0.009C0.562 5D0.066C设近似根为x0，函数f(x)ln(x2)2xm在区间(2，)递增，因为f(0.531 25)0，所以x0(0.531 25,0.562 5)，因为0.562 50.531 250.031 250.05，所以方程的近似解可取为0.562 5，故选C.4某同学在借助计算器求“方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x1.8，那么他再取的x的4个值依次是_1.5,1.75,1.875,1.812 5第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)已知函数f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(x)0在区间0,1内有两个实根证明f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.在区间0,1内选取二等分点，则f abca(a)a0，f(1)0，函数f(x)在区间和上各有一个零点又f(x)最多有两个零点，从而f(x)0在0,1内有两个实根.