1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课后篇巩固提升必备知识基础练1.若a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是()A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.设平面的法向量为(1,-2,),平面的法向量为(2,4),若,则+=()A.2B.4C.-2D.-4答案C解析,12=-2=4,解得=2,=-4,+=-2.3.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法不正确的是()A.A
2、B与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,-55,0C.AB与BC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)答案ABC解析对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以不存在实数,使得AB=AC,则AB与AC不是共线向量,所以A错误;对于B,因为AB=(2,1,0),所以与AB同向的单位向量为255,55,0,所以B错误;对于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos=ABBC|AB|BC|=-5511,所以C错误;对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以nAB=
3、0,nAC=0,则2x+y=0,-x+2y+z=0,令x=1,则平面ABC的一个法向量为n=(1,-2,5),所以D正确.4.若平面,的法向量分别为a=(-1,2,4), b=(x,-1,-2),并且,则x的值为()A.10B.-10C.12D.-12答案B解析因为,所以它们的法向量也互相垂直,所以ab=(-1,2,4)(x,-1,-2)=0,解得x=-10.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是()A.直线ACB.直线B1D1C.直线A1D1D.直线A1A答案B解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上,点C在平面A1B1C1D1内
4、的射影是C1,CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,C1EB1D1,由三垂线定理可得,CEB1D1;在四边形AA1C1C中,C1CAC,易得AC不可能和CE垂直;A1D1BC,A1AC1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.6.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面平行,则z=.答案-9解析由题知,uv,uv=3+6+z=0,z=-9.7.若AB=CD+CE(,R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.答案AB平面CDE或AB平面CDE8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,
5、58是平面内三点,设平面的法向量为a=(x,y,z),则xyz=.答案23(-4)解析由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,a是平面的一个法向量,aAB=0,aAC=0,即x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得x=23y,z=-43y,xyz=23yy-43y=23(-4).9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)答案解
6、析DD1AA1,AA1=(0,0,1),故正确;BC1AD1,AD1=(0,1,1),故正确;直线AD平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故正确;点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,故错误.10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则DC=1
7、2,1,0,DS=-12,0,1,向量AD=12,0,0是平面SBA的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则nDC=12x+y=0,nDS=-12x+z=0,即y=-12x,z=12x.取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.证法一MN=C1N-C1M=12C1B1-12C1C=12(D1A1-D1D)=12DA1,MNDA1,MN平面A1BD.证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直
8、角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是MN=12,0,12,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则nDA1=0,且nDB=0,得x+z=0,x+y=0.取x=1,得y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1).又MNn=12,0,12(1,-1,-1)=0,MNn,且MN平面A1BD.MN平面A1BD.证法三MN=C1N-C1M=12D1A1-12D1D=12(DB+BA)-12(D1A1+A1D)=12DB+12BA-12D1A1-12A1D=12D
9、B+12DA1+12(BA-DA)=12DB+12DA1+12BD=12DA1.即MN可以用DA1与DB线性表示,MN与DA1,DB是共面向量,MN平面A1BD,即MN平面A1BD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)AECD;(2)PD平面ABE.证明(1)AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).ABC=60,ABC为正三角形.C12,32,0,E14,34,12,A(0,0,0).设D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12
10、,y-32,0.由ACCD,得ACCD=0,即y=233,则D0,233,0,CD=-12,36,0.又AE=14,34,12,AECD=-1214+3634=0,AECD,即AECD.(2)证法一:AB=(1,0,0),AE=14,34,12,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x=0,14x+34y+12z=0,令y=2,则z=-3,n=(0,2,-3).PD=0,233,-1,显然PD=33n.PDn,PD平面ABE,即PD平面ABE.证法二:P(0,0,1),PD=0,233,-1.又AEPD=34233+12(-1)=0,PDAE,即PDAE.又AB=(1,0,0),PD
11、AB=0,PDAB.又ABAE=A,PD平面ABE.关键能力提升练13.已知平面内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面的法向量,得ca=0,cb=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.14.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面内,平面内两共点向量OA,OB,下列关系中一定能表示l的是
12、()A.a=OAB.a=kOBC.a=pOA+OBD.以上均不能答案D解析A,B,C中均能推出l,或l,但不能确定一定能表示为l.15.如图,AO平面,垂足为点O,BC平面,BCOB,若ABO=45,COB=30,则BAC的余弦值为()A.77B.427C.66D.6答案B解析AO平面,BC平面,BCOB,由三垂线定理可得,ABBC,设OB=2.ABO=45,COB=30,AO=2,AB=22,BC=233,在RtABC中,AB=22,BC=233,ABC=90,AC=(22)2+(233)2=2213.cosBAC=ABAC=222213=427.故选B.16.(多选)在正方体ABCD-A1
13、B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则以下结论不正确的有()A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案ACD解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF
14、=-13BD1,A1DEF=0,ACEF=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.17.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的比值为()A.12B.11C.31D.21答案B解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因为BFPE,所以BFPE=0,解得y=12,即点F的坐标为0,12,0,所以F为AD的中点
15、,所以AFFD=11.18.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的一个法向量是.答案(-6,3,2)解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,-3),D1F=(0,2,-3),设平面D1EF的一个法向量是n=(x,y,z),则nD1E=
16、x+4y-3z=0,nD1F=2y-3z=0,取y=3,得n=(-6,3,2),则平面D1EF的一个法向量是(-6,3,2).19.在ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为.答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析据题意,得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).设n=(x,y,z),n与平面ABC垂直,nAB=0,nAC=0,即-x-y+2z=0,x+2z=0,可得x=-y2,z=y4.|n|=21,x2+y2+z2=21,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=
17、2,z=-1.n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.如图所示,ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN平面PAD;(2)平面QMN平面PAD.证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,d,0,所以MN=0,-d2,-d2.因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且MNm=0,即MNm.又MN不在平面
18、PAD内,故MN平面PAD.(2)因为QN=(0,-d,0),所以QNm=0,即QNm,又QN不在平面PAD内,所以QN平面PAD.又因为MNQN=N,所以平面MNQ平面PAD.21.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=2.证明:A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,AB=AA1=2,OA=OB=OA1=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).A1C=(-1,0,-1),BD=(0,-2
19、,0),BB1=AA1=(-1,0,1),A1CBD=0,A1CBB1=0,A1CBD,A1CBB1,又BDBB1=B,A1C平面BB1D1D.学科素养拔高练22.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()A.2x-3y+z+5=0B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0D.2x+3y-z-9=0答案B解析通过类比,易
20、得点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1平面ADE;(2)试在棱DC上求一点M,使D1M平面ADE.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).则AE=(0,2,1),DA=(2,0,0),FC1=(0,2,1),C1B1=(2,0,0),AE=FC1,DA=C1B1.可得AD平面FB1C1,AE平面FB1C1.又ADAE=A,平面ADE平面FB1C1.(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2),则D1M=(0,1,-2),DE=(2,2,1),AD=(-2,0,0).D1MDE=0,D1MAD=0,D1MDE,D1MAD.AD,DE平面ADE,ADDE=D,D1M平面ADE.
