1、余弦定理、正弦定理应用举例层级(一)“四基”落实练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 ()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及题图可知，AB40.又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20 m， m B10 m, 2 0 mC10()m, 20 m D. m， m解析：选A由题意，知h甲20tan 6020(m)，h乙2
2、0tan 6020tan 30(m)3一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 kmB30 kmC45 km D60 km解析：选B如图所示，依题意有AB15460，DAC60， CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30 (km)4一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 ()A. n mile/h B34 n mile/h
3、C. n mile/h D34 n mile/h解析：选A如图所示，在PMN中，MN34，v(n mile/h)故选A.5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()A30 B45C60 D75解析：选B依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD.又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.6某人朝正东方向走x m后，向右转150，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_解析：如图，在ABC中，
4、ABx，B30，BC3，AC，由余弦定理得()2x23223xcos 30，x23x60，x或2.答案：2或7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30， 45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)解析：由题意可知，AB200 m，AC100 m，由余弦定理可得BC316.2(m)，这辆汽车的速度为316.21422.6(m/s)答案：22.68.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从
5、 A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，求山高MN.解：根据图示，AC100 m在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得，解得AM100 m在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)层级(二)能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 ()A3 B2C1 D0解析：选A对于，利用内
6、角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.故选A.2当太阳光线与水平面的倾斜角为60时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角_.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为x.依据正弦定理可得.所以xsin(120)因为0120120，所以要使x最大，只需12090，即30时，影子最长答案：303台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为_小时解析：如
7、图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米， APx.在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即图中的CD20(千米)，故t1(小时)答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30.(1)求A，C两地的距离；(2)求该仪器的垂直弹射
8、高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解：(1)由题意，设ACx m，则BCx340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，得BC2BA2AC22BAACcosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.所以A，C两地间的距离为420 m.(2)在RtACH中，AC420 m，CAH30，所以CHACtanCAH140 m.所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树他在点A处发现桃树 顶端点C的仰角大小为45，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树
9、顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中1.732)解：(1)在ABC中，CAB45，DBC75，则ACB754530，AB4.由正弦定理得，解得BC4(m)即BC的长为4 m.(2)在CBD中，CDB90，BC4，所以DC4sin 75.因为sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，则DC22.所以CEEDDC1.70223.703.4647.16(m)即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.层级(三)素养培优练1.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆 桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应
10、用，为发展机械提水灌溉提供了条件如图为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37，在A处测得C处的仰角为45，在B处测得C处的仰角为53，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据：sin 37取()A30米 B50米C60米 D70米解析：选B由题意作出示意图，如图所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.设BDx米，则ADx(米)，CFBCsin 5350cos 375040(米)，BFBCcos 5350sin 375030(米)由AECE得x30x40，解得x30.又A点所在等高线值为20米，故B点所在等高线值为203050(米
11、)故选B.2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O的北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理，可得S，故当t时，Smin10，此时v30，即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意可知(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得，v29004002675.由于00)，于是400u2600u900v20.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即解得15v30，所以v的取值范围是(15，30)