1、4.2.5正态分布课后篇巩固提升必备知识基础练1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的随机变量的期望为()A.1B.-1C.0D.不确定答案C解析因为X=为其对称轴,所以=0.2.设XN(10,0.64),则D(X)等于()A.0.8B.0.64C.0.642D.6.4答案B解析因为XN(10,0.64),所以D(X)=0.64.3.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布,相应的正态曲线如图所示,则下列说法中正确的是()A.三科总体的标准差相同B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最小答案D解析由图像知甲、乙、丙三科的平均分一样,
2、但标准差不同,甲乙丙.故选D.4.若随机变量XN(,2),则Y=aX+b服从()A.N(a,2)B.N(0,1)C.ND.N(a+b,a22)答案D解析因为XN(,2),所以E(X)=,D(X)=2.所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a22.从而YN(a+b,a22).5.已知随机变量服从正态分布N(1,2),若P(2)=a,P(01)=1-3a,则P(0)=()A.B.C.D.答案A解析因为随机变量服从正态分布N(1,2),由正态分布的对称性知,P(01)=P(12),又P(1)=,P(1)=P(12)+P(2),所以a+1-3a=
3、,解得a=,从而P(0)=P(2)=,故选A.6.已知正态分布N(,2)的密度曲线是f(x)=,xR.给出以下四个命题:对任意xR,f(+x)=f(-x)成立;如果随机变量X服从N(,2),且F(x)=P(Xx),那么F(x)是R上的增函数;如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;随机变量X服从N(,2),P(X1)=,P(X2)=p,则P(0X2)=1-2p.其中,真命题的序号是.答案解析如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故是假命题,其余都是真命题.7.灯泡厂生产的某种灯泡的寿命为X(单位:小时),已知XN(1
4、000,302),要使这种灯泡的平均寿命为1 000小时的概率约为99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上?(附:XN(,2),P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,P(-3X+3)0.997)解因为XN(1 000,302),所以=1 000,=30.所以P(1 000-330X1 000+330)=P(910X1 090)99.7%.所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上.8.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100).(1)试求考生成绩X位于区间70,110内的概率;(2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计成绩在80,100内的考生大约有
5、多少人?解因为XN(90,100),所以=90,=10.(1)由于正态分布N(,2)在区间-2,+2内取值的概率约是0.954,而在该正态分布中,-2=90-210=70,+2=90+210=110,于是考生成绩X位于区间70,110内的概率约为0.954.(2)由于=90,=10,所以-=90-10=80,+=90+10=100.由于正态分布N(,2)在区间-,+内取值的概率约为0.683,所以考生成绩X位于区间80,100内的概率约是0.683.一共有2 000名考生,成绩在80,100内的概率约为0.683,所以在这2 000名考生中,成绩在80,100内的人数大约为2 0000.683
6、=1 366.关键能力提升练9.已知XN(4,2),且P(X2)=0.3,则P(X6)=()A.0.3B.0.4C.0.85D.0.7答案D解析因为XN(4,2),正态曲线的对称轴为X=4,因为P(X2)=0.3,所以P(X6)=P(X2)=0.3,所以P(X6)=1-P(X6)=1-0.3=0.7.故选D.10.(2020山东高三期末)已知随机变量服从正态分布N(1,2),若P(4)=0.9,则P(-21)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6答案C解析由题意可知=1,正态分布曲线关于x=1对称,P(4)=1-P(4)=0.1,根据对称性可知,P(-2)=P(4)=0.1,P(-21
7、)=0.5-P(-2)=0.5-0.1=0.4.故选C.11.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(1,),N(2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是()A.甲类水果的平均质量1=0.4 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数2=1.99答案ABC解析由图像可知,甲类水果的平均质量1=0.4 kg,乙类水果的平均质量2=0.8 kg,故A,C正确;甲图像比乙图像更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布
8、的最大值为1.99,即=1.99,21.99,故D不正确.故选ABC.12.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布XN(9,4),则()A.该校学生每周平均阅读时间为9小时B.该校学生每周阅读时间的标准差为4C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数约占0.3%D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在35小时的人数约为215(附:XN(,2),P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,P(-3X+3)0.997.)答案AD解析因为=9,=2,所以平均数是9,标准差为2,A正确,B不正确;因为P(7X11)0.683,P(5X13)0.954,
9、P(3X15)0.997,结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数约占=0.15%,C不正确;每周阅读时间在35小时的人数占0.021 5,0.021 510 000=215,所以D正确.故选AD.13.若随机变量服从正态分布N(9,16),则+=,P(-313)=.参考数据:若N(,2),则P(-+)0.683,P(-2+2)0.954,P(-3+3)0.997.答案130.84解析依题意,N(9,42),其中=9,=4,+=13,故P(-313)=P(-3+)=0.84.14.研究某市某种作物,其单株生长果实个数x服从正态分布N(90,2),且P(x110),而P(
10、x110)=P(x70)=0.1.所以P(90x110)=0.4,而XB(10,0.4),所以D(X)=100.40.6=2.4.15.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3,+3之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在-3,+3之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学
11、知识说明上述监控生产过程方法的合理性.附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)0.997,0.997160.953 1.解(1)由题可知尺寸落在-3,+3之内的概率约为0.997,则落在-3,+3之外的概率为1-0.997=0.003,因为P(X=0)=(1-0.997)00.997160.953 1,所以P(X1)=1-P(X=0)0.040 8,又因为XB(16,0.003),所以E(X)=160.003=0.048.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在-3,+3之外的概率只有0.003,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.046
12、9,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.16.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:得分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(,210),近似为这1
13、 000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求P(36Z79.5);(2)在(1)的条件下,市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率为:获赠的随机话费/元2040概率现市民小王要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望.附:14.5;若XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,P(-3X+3)0.997.解(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65.又3665-2,79.565+,所以P(36Z10)=1-P(X10)=0.226 6,可得ZB(20,0.226 6),P(Z2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773 420-0.226 60.773 419=1-(0.773 4+200.226 6)0.007 60.959 7.E(Z)=200.226 6=4.532.
