1、4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)等于()A.B.2C.D.3答案A解析E(X)=1+2+3.2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.B.C.D.1答案A解析X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以E(X)=1+2.3.已知随机变量X的分布列是X4a910P0.30.1b0.2若E(X)=7.5,则a等于()A.5B.6C.7D.8答案C解析因为E(X)=40.3+0.1a+9b+2=7.
2、5,又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.4.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B.C.D.答案C解析由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=,所以,E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x=40x=40.5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.B.C.D.答案B解析根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=
3、3)=,所以E(X)=0+1+2+3.6.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.答案8.5解析从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是,所以E(X)=(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.7.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为,乙命中的概率为,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为,则E()=.答案解析的可能取值为0,1,2,则P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以E()=0+1+2.8.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3
4、,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.答案解析由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=,b=0.所以a+b=.9.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元;停
5、在B区域返券30元;停在C区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X元.求随机变量X的分布列和数学期望.解设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.所以所求概率为P(A)+P(B)=,即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是.(2)由题意得该顾客可转动转盘2次.随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.P(X=
6、0)=,P(X=30)=2=,P(X=60)=2+,P(X=90)=2=,P(X=120)=.所以,随机变量X的分布列为X0306090120P其数学期望E(X)=0+30+60+90+120=40.10.某滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望E().解(1)
7、甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元.都付0元的概率为P1=,都付40元的概率为P2=,都付80元的概率为P3=1-1-=,故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=.(2)由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和的可能取值为0,40,80,120,160.P(=0)=,P(=40)=,P(=80)=1-+1-,P(=120)=1-+1-=,P(=160)=1-1-=.故的分布列为04080120160P数学期望E()=0+40+80+120+160=80.关键能力提升练11.(2020浙江高三期末)已知0aP(F)P(G),所以当1号位接入A型元件时,子模块正常工作的概率最大为0.846;
8、(3)子模块正常工作的概率越大,期望利润会越高,应把A型元件接入1号位.设1 000套子模块中能正常工作的套数为X,利润为Y,则XB(1 000,0.846),且Y=150X-450(1 000-X)-201 000-(5+3+2)1 000=600X-480 000,所以E(X)=1 0000.846=846,E(Y)=600E(X)-480 000=27 600,故生产销售1 000套电路子模块的最大期望利润为27 600元.17.(2020天津高三月考)某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的
9、课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P1=32=,所以未来5天至少一天停止课间操的概率:P=1-P1=1-.(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=0)=32=,P(X=1)=3+22=,P(X=2)=22+2+32=,P(X=3)=22+2+32=,P(X=4)=22+3=,P(X=5)=32=,所以X的分布列为X012345P数学期望E(X)=0+1+2+3+
10、4+5=2.学科素养拔高练18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望是2,则的最小值为()A.B.C.D.答案A解析由题意得3a+2b+0c=2,所以3a+2b=2,=6+6+2=,当且仅当a=2b=时取等号,故选A.19.(2020北京高三期末)2019年6月,国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿,2019年8月,从某地在校大学生中随机抽取了1 000人进行调查,样本中各类用户分布情况如
11、下:用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用进行比较,可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).(1)从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率;(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数,求X的分布列和数学期望;(3)20
12、19年底,从这1 000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐,能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由.解(1)由题意可知,从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率,即=0.8.(2)由题意可知,X的所有可能值为0,1,2,记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”,事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A)=1-40%=0.6,P(B)=1-45%=0.55
13、,所以P(X=0)=P()=(1-0.6)(1-0.55)=0.18,P(X=1)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)1-P(B)+1-P(A)P(B)=0.6(1-0.55)+(1-0.6)0.55=0.49,P(X=2)=P(AB)=0.60.55=0.33,所以X的分布列为X012P0.180.490.33故X的数学期望E(X)=00.18+10.49+20.33=1.15.(3)设事件D为“从这1 000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐”,那么P(D)=0.02.回答一:事件D虽然发生概率小,但是发生可能性为0.02,是有可能发生的,所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二:事件D发生概率小,可以认为是小概率事件,所以可以认为早期体验用户人数增加.
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