1、4.2.3二项分布与超几何分布课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021吉林长春校级月考)下列例子中随机变量服从二项分布的个数为()某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数;某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数;从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数;有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,表示n次抽取中出现次品的件数.A.0B.1C.2D.3答案B解析对于,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数B(10,0.6),故正确;对于,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数,每次
2、试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布,故错误;对于,虽然是有放回取球,但随机变量的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义,故错误;对于,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率是不相等的,故表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布,故错误.故选B.2.(2020湖北高三月考)某学校成立了A,B,C三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是()A.B.C.D.答案D解析设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是4次独
3、立重复试验,记“申请A学习小组”为事件A,则P(A)=,由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知,恰有2人申请A学习小组的概率是22=,故选D.3.(多选)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中,正确的是()A.他第3次击中目标的概率是0.9B.他恰好击中目标3次的概率是0.930.1C.他至少击中目标1次的概率是1-0.14D.他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1答案AC解析射击一次击中目标的概率是0.9,第3次击中目标的概率是0.9,A正确;连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影
4、响,本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是0.930.1,B不正确;至少击中目标1次的概率是1-0.14,C正确;恰好有连续2次击中目标的概率为30.920.12,D不正确.故选AC.4.(2020山东济宁高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为()A.B.C.D.答案A解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时P1=.当1个正品3个次品时P2=.所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=.故选A.5.(2021江苏南京玄武校级月考)一个袋内有
5、2个红球,4个白球.(1)从中取出3个球,求取到红球个数X的分布列;(2)每次取1个球,取出后记录颜色并放回袋中.若取到第二个红球就停止试验,求第5次取球后试验停止的概率;取球4次,求取到红球个数Y的分布列.解(1)X的取值分别为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为X012P(2)因为每次取1个球,取出后记下颜色并放回袋子,所以取出1个是红球的概率为,取出1个是白球的概率为,因为取到第二个红球就停止试验,第五次取球后停止试验,所以前四次只有一次取到红球,其余三次取到白球,第五次取到红球停止试验.所以第五次取到红球停止试验的概率P=3.设取到红球的次数为Y
6、,则Y的取值可能为0,1,2,3,4.P(Y=0)=4=,P(Y=1)=3=,P(Y=2)=22=,P(Y=3)=3,P(Y=4)=4=.所以Y的分布列为Y01234P关键能力提升练6.(多选)(2020江苏连云港期末)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是()A.两件都是一等品的概率是B.两件中有一件是次品的概率是C.两件都是正品的概率是D.两件中至少有1件是一等品的概率是答案BD解析两件都是一等品的概率为,两件中有一件是次品的概率为,两件都是正品的概率为,两件中至少有1件是一等品的概率为.故选BD. 7.(2020辽宁
7、高一期末)某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率为,则p为()A.B.C.D.答案A解析因为射击一次命中目标的概率为p,所以射击一次未命中目标的概率为1-p.因为每次射击结果相互独立,所以三次都未命中的概率为(1-p)3.因为连续射击三次,至少有一次命中的对立事件为三次都未射中,所以连续射击三次,至少有一次命中的概率为1-(1-p)3=,解得p=.故选A.8.(多选)若随机变量B5,则P(=k)最大时,k的值可以为()A.1B.2C.4D.5答案AB解析依题意P(=k)=k5-k,k=0,1,2,3,4,5.可以求得P(=0)=,P(=1)=,P
8、(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=.故当k=2或1时,P(=k)最大.故选AB.9.连续投掷2枚大小相同,质地均匀的骰子3次,则恰有2次点数之和不小于10的概率为()A.B.C.D.答案B解析连续投掷2枚大小相同,质地均匀的骰子1次,基本事件总数n=66=36,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有:(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有6个.所以每次投掷,两骰子点数之和不小于10的概率为.又投掷3次,相当于3次独立重复试验,故恰有两次点数之和不小于10的概率为2.故选B.10.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射
9、击运动员射击4次,至少击中3次的概率为()A.0.85B.0.819 2C.0.8D.0.75答案B解析因为某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次看作4次独立重复试验,则至少击中3次的概率(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819 2.11.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是.答案解析由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=.12.如图,在小地图中,一机器人从点A(0,0)出发,每秒向上或向右移动1格到达相应点,已知每次向上移动1
10、格的概率是,向右移动1格的概率是,则该机器人6秒后到达点B(4,2)的概率为.答案解析由题意,可得6秒内向右移动4次,向上移动2次,则所求概率为42=.13.某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S,从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查,他
11、们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表:选考物理、化学、生物的科目数123人数52520(1)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;(2)从所调查的50名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列;(3)将频率视为概率,现从学生群体S中随机抽取4名学生,其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“Y2”的概率.解(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A,则P(A)=,所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为1-P(A)=;(2)由题意可
12、知X的可能取值分别为0,1,2.则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为X012P(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名,相应的频率为P=,由题意知,YB4,.所以事件“Y2”的概率为P(Y2)=21-2+31-+4=.学科素养拔高练14.某同学通过英语听力测试的概率为,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B解析由题意可得,1-1-n0.9,即n0.1,所以n4,故选B.15.(2020浙江高三专题练习)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局
13、者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求乙以4比1获胜的概率;(2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率.解(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,记“乙以4比1获胜”为事件A,则A表示前4局乙赢了3局甲赢了一局,且第五局乙赢,所以P(A)=3.(2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了.这时,不需要进行第7局比赛.故甲以4比2获胜的概率为32.甲以4比3获胜,表示前6局比赛中甲赢了3局且第七局比赛中甲赢了.故甲以4比3获胜的概率为33,所以P(B)=.
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