1、习题课等差数列习题课课后篇巩固提升必备知识基础练1.在等差数列an中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n等于()A.50B.49C.56D.51答案C解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)=37,所以n=56.2.(2021湖北高三二模)设等差数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S20=30,则S30=()A.20B.30C.40D.50答案B解析由等差数列an的前n项和的性质可得,S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列,2(S20-S10)=S10+(S30-S20),2(30-20)=20+S30-30,解得S
2、30=30.3.已知数列an满足a1=33,=2,则的最小值为()A.10B.10.5C.9D.8答案B4.(2021浙江高二单元测试)设数列an(nN*)是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS6D.S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由于S5S8,所以S6-S5=a60,S7-S6=a7=0,S8-S7=a80,所以d0,a7=0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a80,所以S9S6,所以C选项错误.故选C.5.(2020黑龙江铁人中学高三)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与
3、下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位)这个问题中,戊所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱答案B解析依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,则a+2d=a+2-=.故选B.6.(2020全国,文14)记Sn为等差数
4、列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案25解析设等差数列an的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.S10=10a1+d=-20+45=25.7.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为.答案12解析由S7=S17,知a8+a9+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=a12+a13,因此a12+a13=0,从而a120,故n为12.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1为整数,a2=-13,SnS8,则数列an的通项公式为an=.答案
5、2n-17解析设等差数列an的公差为d,则a1=a2-d=-13-d,d为整数,所以Sn=na1+d=(-13-d)n+d=n2-13+n,由SnS8,结合二次函数的图像与性质可得d0,-,解得d,所以d=2,所以an=a2+(n-2)d=-13+2(n-2)=2n-17.9.已知在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解(1)a16+a17+a18=a9=-18,a17=-6.又a9=-18,公差d=.首项a1=a9-8d=-30.an=n-.设前n项和为Sk最小,
6、则即k=20或21.故当n=20或21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.(2)由an=n-0,得n21.当n21时,Tn=-Sn=(41n-n2).当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=(n2-41n)+630.10.已知各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且满足=a1a21.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN+),且b1=3,求数列的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d(d0),则解得则an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n2,nN+),bn=(b
7、n-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),bn=n(n+2),nN+.Tn=.关键能力提升练11.(多选)已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=0答案AB解析因为an是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;当d0时,则S9或S10最小,当d0),则有(a+
8、a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=100,故a=20,d=,则最小的一份为a-2d=20-.13.已知数列an的前n项和Sn=n2+n+3(nN*),则下列结论正确的是()A.数列an是等差数列B.数列an是递增数列C.a1,a5,a9成等差数列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列答案D解析当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+3-(n-1)2+(n-1)+3=n+;当n=1时,a1=S1=,不满足上式,数列an不是等差数列.a2=a1=,因此数列an不是递增数列.2a5-a1-a9=25+-9+=-30,因此a1,a5,a9不成等
9、差数列.S6-S3=(4+5+6)+3=,S9-S6=(7+8+9)+3=,S12-S9=(10+11+12)+3=,=0,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.故选D.14.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为.答案3解析由题意可得an+an+1=5,an+1+an+2=5.an+2-an=0.a1=2,a2=5-a1=3.当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.a18=3.15.(2020山东,14)将数列2n-1与3n
10、-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.答案3n2-2n解析数列2n-1的项均为奇数,数列3n-2的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然3n-2中的所有奇数均能在2n-1中找到,所以2n-1与3n-2的所有公共项就是3n-2的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列an为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以an的前n项和为n1+6=3n2-2n.16.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1),nN+.(1)求数列an的通项公式an.(2)是否存在正整数n,使得+-(n-1)2=2 021?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.解(1)由an=
11、+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),整理,得an-an-1=4,则an为a1=1,d=4的等差数列,所以an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得Sn=n4n-3-2(n-1)=(2n-1)n,得=2n-1,得+=n2.令n2-(n-1)2=2 021,解得n=1 011.因此存在n=1 011满足题意.17.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且
12、都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)a15=-1015+250=100,到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为15=2 550(min)=(h),这支车队当天总共行驶的路程为60=2 550(km).学科素养拔高练18.在bn=,bn=|an-S6|这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.设等差数列an的前n项和为Sn,a4=3a1,S3=15,满足,求数列bn的前n项和Tn.解因为a4=3a1,S3=15,所以a1+3d=3a1,3a1+3d=15,即a1=3,d=2.所以an=2n+1,Sn=n(n+2).若选bn=,则bn=.所以Tn=b1+b2+b3+bn=1-+=.若选bn=|an-S6|,则bn=|2n-47|=所以当n23时,bn=47-2n.Tn=b1+b2+bn=46n-n2;当n24时,bn=2n-47,Tn=(b1+b2+b23)+b24+bn=n2-46n+1 058.所以Tn=
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