1、5.3等比数列5.3.1等比数列课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案D解析因为在等比数列中,an,a2n,a3n,也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.2.(2021山西晋城高三二模)在等比数列an中,若a3=1,a11=25,则a7=()A.5B.-5C.5D.25答案A解析等比数列an中,=a3a11=25,又a7与a3符号相同,所以a7=5.故选A.3.(2020广东华侨中学高三月考)设等比数列an满足a1+a3=3,
2、a1-a5=-3,则a7=()A.8B.-8C.6D.-6答案A解析设等比数列an的公比为q,a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,由得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.4.在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值为()120.51abcA.1B.2C.D.4答案C解析根据题意填写表格,得12340.5121所以a+b+c=.5.(2020全国,文10)设an是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7
3、+a8=()A.12B.24C.30D.32答案D解析设等比数列an的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.6.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是.答案6,18解析设两数依次为a,b,a2=2b,2b=a+30.a2-a-30=0,a=6,b=18.7.已知a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则abc=.(其中a,b,c不相等)答案41(-2)解析由已知,得由,得a=2b-c,代入得2b2-bc-c2=0,解得b
4、=-c(b=c舍去).c=-2b.a=2b-c=4b.abc=4bb(-2b)=41(-2).8.已知数列an的各项都为正数,对任意的m,nN*,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+log2a7=.答案21解析因为对任意的m,nN*,aman=am+n恒成立,令m=1,则a1an=a1+n对任意的nN*恒成立,数列an为等比数列,公比为a1,由等比数列的性质有a3a5=,因为a3a5+a4=72,则+a4=72,a40,a4=8,log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2=log287=21.9.在公差不为0的等差数
5、列an和等比数列bn中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求数列an的公差和数列bn的公比.(2)是否存在a,b使得对于一切自然数n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.解(1)设an的公差为d,bn的公比为q,由已知a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q,由a8=b3,得1+7d=q2,解得(舍去)或(2)若存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)5=loga6n-1+b,5n-4=(n-1)loga6+b,(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.解得因此,存在a=,b=1使得结论成立.10.已知an是各项为不同
6、的正数的等差数列,lg a1,lg a2,lg a4成等差数列.又bn=,n=1,2,3,.(1)证明bn为等比数列;(2)如果数列bn前3项的和等于,求数列an的首项a1和公差d.(1)证明lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,2lg a2=lg a1+lg a4,即=a1a4.设等差数列an的公差为d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d,从而d(d-a1)=0.d0,d=a10.an=a1+(n-1)d=nd.=2nd.bn=.数列bn是以为首项,为公比的等比数列.(2)解b1+b2+b3=,d=3.a1=d=3.关键能力提升练11.(多选)数列an满足an=q
7、n(q0,nN+),则以下结论正确的是()A.a2n是等比数列B.是等比数列C.lg an是等差数列D.lg 是等差数列答案ABCD解析因为an=qn(q0,nN+),所以a2n=q2n,=q2,故A正确;,故B正确;lg an=lg qn=nlg q,故lg an-lg an-1=nlg q-(n-1)lg q=lg q,故C正确;lg =lg q2n=2nlg q,故lg -lg =2nlg q-2(n-1)lg q=2lg q,故D正确;故选ABCD.12.(2021江西高三模拟)已知等比数列an中,a1+a5=10,a1a5=16且a1a5,则a7=()A.16B.16C.4D.4答案
8、B解析已知且a110的n的最小值是()A.8B.7C.6D.5答案D解析依题意,=5,得,则数列an是首项为2,公比为的等比数列,所以an=2n-1,验证知,当n5时,2n-110成立,所以n的最小值是5.故选D.14.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=()A.4B.C.D.答案D解析设第一个音的频率为a,设相邻两个音之间的频率之比为q,那么an=aqn-1,根据最后一
9、个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a=aq12,解得q=,所以=q4=,故选D.15.已知两个等比数列an,bn,满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列an是唯一的,则a的值为.答案解析设an的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a0得=4a2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根.由an唯一知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.16.已知等比数列an满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2an取
10、得最小值的n为.答案3或4解析设公比为q,则q=3,a1-a3=-8a1=-,a1=,a2=,a3=,a4=1,n=3或n=4时,a1a2an取得最小值.17.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:当a1时,是等比数列;(3)当a1=时,求数列an的通项公式.(1)解根据根与系数的关系,有代入题设条件6(+)-2=3,得=3.an+1=an+.(2)证明an+1=an+,an+1-.当a1时,an-0,故数列是以为公比的等比数列.(3)解当a1=时,a1-.故数列是首项为a1-,公比为的等比
11、数列,an=,n=1,2,3,即数列an的通项公式为an=,n=1,2,3,.18.判断是否存在一个等比数列an,使其满足下列三个条件,使am-1,am+1+依次成等差数列:a1+a6=11,且a3a4=;an+1an;至少存在一个m(mN+,且m4).若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.解不存在.理由如下:假设存在符合条件的等比数列an,则解得又因为an+1an,所以取a1=,a6=.设公比为q,由a6=a1q5,得q5,解得q=2,所以an=2n-1.又因为am-1,am+1+成等差数列,所以2am-1+,即22m-12=.整理,得22m-72m-8=0,即(2m-8)(2m+1)=0.因为2m+10,所以2m-8=0,即2m=8,所以m=3,这与条件中的m4矛盾.所以不存在符合题意的等比数列.学科素养拔高练19.(2020四川成都高三二模)已知an是递增的等比数列,a1=1,且2a2,a3,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,nN+,求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q,由题意,知q1.2a2,a3,a4成等差数列,3a3=a4+2a2,3q2=q3+2q,即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),q=2.数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.(2)bn=,Sn=1-+=.
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