2021-2022学年高中数学人教A版选修2-3测评：1-3-2　“杨辉三角”与二项式系数的性质 WORD版含解析.docx

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课后篇巩固探究基础巩固1.在(a-b)20的二项展开式中,与第6项二项式系数相同的项是()A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项解析第6项的二项式系数为C205,与它相等的为倒数第6项,即第16项.答案B2.在(1+x)2n(nN*)的展开式中,系数最大的项是()A.第n2+1项B.第n项C.第n+1项D.第n项与第n+1项解析本题中,系数最大的项即是二项式系数最大的项.2n为偶数,展开式的中间只有一项,为第n+1项,该项的二项式系数最大.答案C3.(x-1)11的展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2 048B.-1 023C.1 024D

2、.-1 024解析(x-1)11=C110x11+C111x10(-1)+C112x9(-1)2+C1111(-1)11,x的偶次项系数为负数,其和为-210=-1024.答案D4.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a8等于()A.180B.-180C.45D.-45解析(2-x)10=C100210(-x)0+C10129(-x)1+C10822(-x)8+C1092(-x)9+C1010(-x)10,a8=C10822=4C102=410921=445=180.答案A5.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值

3、为()A.3B.6C.9D.12解析x3=2+(x-2)3,a2=C322=6.答案B6.在(x-2)2 012的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=2时,S等于()A.23 018B.-23 017C.23 017D.-23 018解析因为S=(x-2)2012-(x+2)20122,当x=2时,S=-230182=-23017,故选B.答案B7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n=.解析令x=1,得3n=a0+a1+a2+a2n-1+a2n,令x=-1,得1=a0-a1+a2-a2n-1+a2n,+得3n+1=2(a0+a2+a

4、2n),所以a0+a2+a2n=3n+12.答案3n+128.如图所示,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是.解析2=1+1,4=1+1+2,7=1+1+2+3,11=1+1+2+3+4,第n行的第2个数是1+1+2+3+4+n-1=1+(n-1)(n-1+1)2=1+n(n-1)2=n2-n+22.答案n2-n+229.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为.解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.又Tk+1=C4k(-3)4-k(2x)k,当k=4时,x4的系数a4=16.由-得

5、a0+a1+a2+a3=-15.答案-1510.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为.解析(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为C100+C101+C1010=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.答案511.已知(1+mx)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112.(1)求m,n的值;(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;(3)求(1+mx)n(1-x)的展开式中含x2项的系数.解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tr+1=Cn

6、rmrxr2,含x项的系数为C82m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C80+C82+C84+C86+C88=28-1=128.(3)(1+2x)8(1-x)=(1+2x)8-x(1+2x)8,所以含x2的系数为C8424-C8222=1008.能力提升1.若(1-2x)2 017=a0+a1x+a2 017x2 017(xR),则a12+a222+a201722017的值为()A.2B.0C.-1D.-2解析令x=0,得a0=1;令x=12,得a0+a12+a222+a201722017=0,所以a12+a222+a20

7、1722017=-1.答案C2.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,且a1+a2+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3解析令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+a6.又a1+a2+a3+a6=63,(1+m)6=64=26,m=1或m=-3.答案D3.在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为()A.-960B.960C.1 120D.1 680解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=2

8、56,n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=C84(-2)4x4=1120x4,即展开式的中间项的系数为1120,故选C.答案C4.若x2-1xn的展开式中第三项与第五项的系数之比为314,则展开式中常数项是()A.-10B.10C.-45D.45解析因为展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x2)n-r(-1)rx-r2=Cnr(-1)rx2n-52r,所以Cn2Cn4=314,n=10,所以Tr+1=C10r(-1)rx20-5r2,令20-5r2=0,得r=8.所以常数项为T9=C108(-1)8=45.答案D5.已知0a1,方程a|x|=|logax|的实根个数为n,

9、且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1等于()A.-10B.9C.11D.-12解析作出y=a|x|(0a0,设第k+1项系数最大.则C8kmkC8k-1mk-1,C8kmkC8k+1mk+1,化简可得8m-1m+1k9mm+1.由于只有第6项和第7项系数最大,所以48m-1m+15,69mm+17,即54m2,2m72.所以m只能等于2.11.(选做题)已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值;(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x

10、)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解(1)由已知得Cm1+2Cn1=11,m+2n=11.x2的系数为Cm2+22Cn2=m(m-1)2+2n(n-1)=m2-m2+(11-m)11-m2-1=m-2142+35116.mN*,m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3.f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.设f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.