1、5 简单的幂函数(一)内 容 标 准学 科 素 养1.理解幂函数的概念2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.精确数学概念提升数学运算熟练数形结合01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 幂函数的概念预习教材P4950，思考并完成以下问题任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数 ymx 是幂函数，m 应满足什么条件？提示：并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的 yx 和 yx2是幂函数若 ymx是幂函数，则必有 m1.知识梳理 幂函数的概念
2、一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数yxx知识点二 简单的幂函数的图像和性质思考并完成以下问题幂函数 yx 在区间(0，)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，)上为减函数时，满足的条件是什么？提示：当 0 时，yx 在(0，)上为增函数；当 0 时，yx在(0，)上为减函数知识梳理 幂函数的图像与性质幂函数yxyx2yx3yyx1图像定义域RRR值域RR0，)x|x0 0，)0，)y|y0 幂函数yxyx2yx3yyx1奇偶性奇函数单调性在 R 上是 x0，)是，x(，0)是在 R 上是在0，)上是增函数x(0，)是，x(，0)是公共点(1,1)奇函数偶函数非奇非偶函数奇函数增
3、函数增函数减函数增函数减函数减函数思考：幂函数的图像能过第四象限吗？提示：如果幂函数的图像能过第四象限，则当 x0 时，y0，但 xa0 恒成立，故 y0 不成立，所以幂函数的图像不过第四象限自我检测1下列函数中，不是幂函数的是()Ay2xByx1Cy xDyx2解析：由幂函数定义知 y2x不是幂函数答案：A2下列函数中，定义域为 R 的是()Ayx2ByCyx2Dyx1解析：A、D 的定义域为x|x0，B 的定义域为0，)，C 的定义域为 R.答案：C3函数 yx3 的图像关于_对称解析：函数 yx3为奇函数，其图像关于原点对称答案：原点探究一 幂函数的概念例 1 函数 f(x)(m2m5)
4、xm1 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，试求 f(x)的解析式思路点拨 由已知 f(x)(m2m5)xm1 是幂函数，且当 x0 时是增函数，可先利用幂函数的定义求 m 的值，再利用单调性确定 m 的值，从而确定 f(x)的解析式解析 根据幂函数的定义，得 m2m51，解得 m3 或 m2.当 m3 时，f(x)x2 在(0，)上是增函数；当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 m3.f(x)的解析式为 f(x)x2.方法技巧 求 f(x)的解析式，实质上是求参数 m 的值，而参数 m 同时满足两个约束条件，我们先由一个约束条件求出 m 的值，然后考查所求
5、得的 m 值是否满足第二个约束条件，这种解决问题的方法值得重视跟踪探究 1.(1)已知(2，2)在幂函数 f(x)的图像上，求 f(2)的值；(2)已知函数 f(x)(a23a3)xa25a5(a 为常数)为幂函数，且在(0，)上单调递减，求实数 a 的值解析：(1)设 f(x)x，(2，2)在 f(x)的图像上，f(2)(2)2，2.故 f(x)x2，f(2)224.(2)f(x)为幂函数，a23a31，得 a1 或 a2.当 a1 时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意当 a2 时，f(x)x1，在(0，)上单调递减，符合题意综上，a 的值为 2.探究二 幂值大小的比较问题例 2
6、比较大小(2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251,5.261.解析(1)因为函数在(0，)上是增函数，且 1.51.7，所以(2)因为函数 yx3在 R 上是增函数，且1.21.25，所以(1.2)3(1.25)3.(3)因为函数 yx1在(，0)和(0，)是减函数，所以 5.2515.261.方法技巧 比较幂值大小的两种思路(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小跟 踪 探 究 2.把按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为
7、_探究三 幂函数的图像与性质例 3 已知幂函数 f(x)x 的图像过点 P2，14，试画出 f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间解析 因为 f(x)x 的图像过点 P2，14，所以 f(2)14，即 214，得 2，即 f(x)x2，f(x)的图像如图所示：定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)延伸探究 1.(变换条件)本例中的条件“过点 P2，14”若换为过点 P8，14，试写出该函数的定义域、单调区间解析：因为 f(8)14，所以 814，即 23，故 f(x)13 x2，由3 x20 得 x0，所以 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)图像如
8、图所示：则 f(x)的单调减区间是(0，)，增区间为(，0)2(变换条件，改变问法)本例中的条件“过点 P2，14”若换为过点 P4，12，试写出该函数定义域，判断函数的单调性并用定义法证明解析：f(4)12，412，即 12，f(x)，其定义域为(0，)，120，f(x)在(0，)上为减函数，证明如下：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)1x2 1x1 x1 x2x1x2x1x2x1x2 x1 x2.因为 x2x10，所以 x1x20，且 x1x2(x1 x2)0，于是 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，所以 f(x)在区间(0，)内是减函数3(变
9、换条件，改变问法)本例中条件“过点 P2，14”若换为过点 P16，12 且有f(a1)f(32a)，求实数 a 的取值范围解析：f(16)12，1612，即 14，f(x)其定义域为(0，)，140，f(x)在(0，)上为减函数f(a1)f(32a)，有a10，32a0，a132a.解得23a32.a 的取值范围为23，32.方法技巧 1.幂函数图像的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图像：先根据 的取值，确定幂函数 yx 在第一象限内的图像(2)确定幂函数在其他象限内的图像：根据幂函数的定义域及对称性确定幂函数在其他象限内的图像2求幂函数中含参数问题的三个步骤跟踪探究 3.点(2，2)与点
10、2，12 分别在幂函数 f(x)，g(x)的图像上，问当 x 为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)?解析：设 f(x)x，g(x)x，则(2)2，(2)12，2，1.f(x)x2，g(x)x1.分别作出它们的图像如图所示，由图像可知，(1)当 x(，0)(1，)时，f(x)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当 x(0,1)时，f(x)g(x)课后小结1幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准2幂函数 yx 的图像与性质由于 的值不同而比较
11、复杂，一般从两个方面考查：(1)0 时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；0 时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立(2)曲线在第一象限的凹凸性：1 时，曲线下凸；01 时，曲线上凸；0 时，曲线下凸3在具体应用时，不一定是 yx，1，12，1,2,3 这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质素养培优 因为幂函数的单调性理解不全面而造成错解易错案例：若(a1)1(32a)1，求实数 a 的取值范围易错分析：函数 f(x)x1在(，0)和(0，)上均为减函数，但在(，0)(0，)上不具有单调性本题容易用错函数的单调性而导致错误此类问题的求解必须在各个单调区间内分别进行求解，也可以结合函数的图像来求解考查分类讨论、数形结合的学科素养自我纠正：幂函数为 f(x)x1，由于该函数在(，0)及(0，)上均为减函数，且在(，0)上有 f(x)0；在(0，)上有 f(x)0，所以由(a1)1(32a)1，得a10，32a0或 a132a0 或 32aa10，解得 a1 或23a32.故实数 a 的取值范围是(，1)23，32.04 课时 跟踪训练