1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示课后篇巩固提升1.已知A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)解析a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),A(1,-2,0),B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.答案D2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为()A.30B.45C.60D.90解析由已知得AB=(0,3,3),AC=
2、(-1,1,0),因此cos=ABAC|AB|AC|=3322=12,所以向量AB与AC的夹角为60.答案C3.若a=(1-m,2m-1,0),b=(2,m,m),则|b-a|的最小值是()A.5B.6C.2D.3解析b-a=(1+m,1-m,m),|b-a|=(1+m)2+(1-m)2+m2=3m2+2.m20,|b-a|2,即|b-a|的最小值为2.故选C.答案C4.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OAOB,且|AB|=52,则实数z的值为()A.5B.-5C.5或-5D.-10或10解析因为OAOB,所以存在R,使得OA=OB,又|AB|=52,而AB=OB-OA
3、=(z-x,3-y,-4),则x=z,y=3,8=4,(z-x)2+(3-y)2+(-4)2=50,解得x=10,y=6,z=5,=2,或x=-10,y=6,z=-5,=2.故选C.答案C5.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),所以|AB|=32+42+82=89,|AC|=52+12+72=75,|BC|=22+32+1=14,因此|AC|2+|BC|2=75+14=89=|AB|2.所以ABC为直角三角形.
4、答案C6.下列各组向量中共面的组数为()a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5);a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2);a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1).A.0B.1C.2D.3解析设a=xb+yc,则1=3x+4y,2=0x+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.中b=-2c,中c=a-b.故中三个向量也共面.答案D7.已知a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=-15,1,-35,给出下列等式:|a+b+c|=|a-b-c|;(a+b)c=a
5、(b+c);(a+b+c)2=a2+b2+c2;(ab)c=a(bc).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析由题设可得a+b+c=195,3,75,则|a+b+c|=63525=6355,a-b-c=-95,1,235,|a-b-c|=63525=6355,故正确;(a+b)c=(4,2,2)-15,1,-35=-45+2-65=0,a(b+c)=(1,2,3)145,1,-85=145+2-245=0,故正确;(a+b+c)2=63525=1275,而a2=14,b2=10,c2=3525=75,所以a2+b2+c2=1275,故正确;因为ab=3+0-3=0,所以(ab)c=0
6、,而bc=-35+0+35=0,故a(bc)=0,故正确.故选D.答案D8.已知a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且ab,则实数x的值为.解析a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且ab,ab=-10-2+3x=0,解得x=4.实数x的值为4.答案49.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数x=.解析由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.答案-810.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.
7、解析由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-40,解得k75.若ka+b与2a-b反向,则ka+b=(2a-b),0.则k=2,1=-,所以k=-2.所以当ka+b与2a-b的夹角为钝角时,k75且k-2.综上,k的取值范围是(-,-2)-2,75.答案(-,-2)-2,7511.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.解由题中条件可知,AB=(-
8、2,-1,3),AC=(1,-3,2),(1)cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=12.于是sin=32.故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB|AC|sin=1432=73.(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).12.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DBAC,DCAB,求点D的坐标;(2)问是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明
9、理由.解(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0).因为DBAC,DCAB,所以(-x,1-y,-z)=m(-1,0,2),mR,(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),nR,解得x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2).(2)存在.理由如下:依题意AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2).假设存在实数,使得AC=AB+BC成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以=1,-=0,2=2,故存在=1,使得AC=AB+BC成立.
