1、第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课后篇巩固提升基础巩固1.复数(3i-1)i的虚部是()A.-1B.-3C.3D.1解析因为(3i-1)i=3i2-i=-3-i,所以虚部为-1.答案A2.(多选)若复数z满足(2+i)z+5i=0,则()A.z的虚部为-2B.=1+2iC.z在复平面内对应的点位于第二象限D.|z4|=25解析由z=-1-2i,虚部为-2,故A正确;=-1+2i,故B错误;z在复平面内对应的点位于第三象限,故C错误;|z4|=|z|4=()4=25,故D正确.故选AD.答案AD3.复数z=的共轭复数在复平面内对应点的坐标为
2、()A.(4,-3)B.(4,3)C.(-3,4)D.(3,4)解析复数z=4-3i,故=4+3i,对应点的坐标为(4,3).故选B.答案B4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()A.B.C.-D.-解析z1=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1是实数,所以4a-3=0,得a=.答案A5.如图,向量对应的复数为z,则z+对应的复数是()A.1+3iB.-3-iC.3-iD.3+i解析由题图得Z(1,-1),即z=1-i,z+=3+i.答案D6.已知i是虚数单位,则i-2 020-i-2 021=.解析i-2 020-i-2 021=1+i.
3、答案1+i7.复数z=x+yi(x,yR)的共轭复数为,已知z=4,z-=4i(i为虚数单位),z的虚部为,z=.解析因为复数z=x+yi(x,yR)且z=4,z-=4i,则z=(x+yi)(x-yi)=x2+y2=4,z-=(x+yi)-(x-yi)=2yi=4i,所以解得x=0,y=2,所以z=2i,z的虚部为2.答案22i8.已知复数z1=+i,|z2|=2,且z1是虚部为正数的纯虚数,则复数z2=.解析设z2=a+bi(a,bR),则z1=(+i)(a+bi)2=(+i)(a2-b2+2abi)=(a2-b2)-2ab+(a2-b2+2ab)i,因为z1是虚部为正数的纯虚数,所以又|z
4、2|=2,则a2+b2=4,联立解得则z2=+i或-i.答案+i或-i9.已知为z的共轭复数,若z-3i=1+3i,求z.解设z=a+bi(a,bR),则=a-bi(a,bR),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有解得所以z=-1或z=-1+3i.10.已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.(1)求复数z和|z|;(2)若复数z1=i在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=a+bi(a,bR),则z+2i=a+(b+2)i为实数,所以b+2=0,即b=-2.又i为实数,所以=0,所以a=
5、-2b.又b=-2,所以a=4,所以z=4-2i.所以|z|=2.(2)z1=i=4+i=i.因为z1在复平面内对应的点位于第四象限,所以解得-2m或1m,所以实数m的取值范围为.能力提升1.已知复数z=(bR)的实部为-1,则b=()A.-5B.5C.6D.-6解析复数z=2-+2+i,因为复数的实部为-1,所以2-=-1,解得b=6.故选C.答案C2.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为.解析,因为为纯虚数,所以所以a=.答案3.对任意复数z=x+yi(x,yR),i为虚数单位,则下列结论正确的是.(填序号)|z-|=2y;z2=x2+y2;|z-|2x;|z|x|
6、+|y|.解析对于,=x-yi(x,yR),|z-|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,故不正确;对于,z2=x2-y2+2xyi,故不正确;对于,|z-|=|2y|2x不一定成立,故不正确;对于,|z|=|x|+|y|,故正确.答案4.设复数z满足|z-i|=1,且z0,z2i.若为实数,则复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形?并说明理由.解设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,yR).由z0,z2i,且|z-i|=1,得a0,b0,且a2+b2-2b=0.记u=.u为实数,=0,a0,x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1.又w-2i0,x0且y2,复数w在复平面内所对应的点Z的集合是以(0,1)为圆心,1为半径的圆(除去(0,2)点).5.满足z+是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.解存在.理由如下:设虚数z=x+yi(x,yR,且y0),则z+3=x+3+yi,z+=x+yi+=x+y-i.由已知得y0,解得存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足以上条件.
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