1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设;已知条件;定义、公理、定理等;原结论.A.B.C.D.解析除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案C2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q2.用反证法证明时,可假设p+q2.(2)已知a,bR,|a|+|b|”,故(1)错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”,故(2)正确.答案D3.设a,b,c,d大于0,则4个数的值()A.至多有一个不大于1B.都大于1C.至少有一个不大于1D.都小于1解析由a=
2、1,b=2,c=4,d=4可判断A,B,D错误;假设4个数的值都大于1,因为a,b,c,d大于0,所以ab,bc,cd,da,而ab,bc,cdad,与da相矛盾,假设不成立,故4个数的值至少有一个不大于1,C正确.故选C.答案C4.用反证法证明“至少存在一个实数x,使log3x0成立”时,假设正确的是()A.至少存在两个实数x,使log3x0成立B.至多存在一个实数x,使log3x0成立C.任意实数x,log3x0恒成立D.不存在实数x,使log3x0成立解析根据反证法的原理,“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数x”,故假设“不存在实数x,使log3x0成立”.故选D.答案D5.将“函数
3、f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1上至少存在一个实数c,使f(c)0”反设,所得命题为“”.解析“至少存在一个”反面是“不存在”.答案函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式为.解析“p且q”的否定形式为“p或q”.答案x0或y07.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,a7是由数字1,2,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为.而(a1-1
4、)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.与矛盾,故假设不成立,故p为偶数.解析由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.答案a1-1,a2-2,a7-7奇数08.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两
5、个不同的交点.由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.9.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.证明假设ME与BN共面,则AB平面MBEN,且平面MB
6、EN平面DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得AB平面DCEF.又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF,这与ENEF=E矛盾,故假设不成立,所以ME与BN不共面,即直线ME与BN是两条异面直线.能力提升1.已知x1,x2,x3,x2 019均为正实数,且+=1,有下列四个说法:最多有一个xi(i(1,2,3,2 019)小于1;最多有两个xi(i(1,2,3,2 019)小于2;至少有一个xi(i(1,2,3,2 019)不小于2 019;至少有一个xi(i(1,2,3,2 019)不小于2 018.其中正确说法
7、的个数为()A.1B.2C.3D.4解析不妨设x1x2x2 019,故+=12 019,所以x2 0192 018,故正确;对于,若存在xi,xj(ij),它们均小于1,则=1,这与+=1矛盾,故正确;对于,若存在xi,xj,xk(ij3=1,这也与+=1矛盾,故正确;对于,取xi=2 018(i=1,2,2 019),则+=1,故错误.故选C.答案C2.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时应分:假设和两类.解析反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案BAP=CAPBAPCAP3.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+
8、b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).解析若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;若a+b2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故答案为.答案4.已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明假设m是奇数,不妨设m=2k-1(kZ),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因为kZ,所以k2+2kZ,于是4(k2+2k)是偶数,从而4
9、(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.5.已知直线m与直线a和b分别交于A,B,且ab.求证:过a,b,m有且只有一个平面.证明如图所示,因为ab,所以过a,b有一个平面,又ma=A,mb=B,所以Aa,Bb,所以A,B.又Am,Bm,所以m.即过a,b,m有一个平面.假设过a,b,m还有一个平面异于平面,则a,b,a,b,这与ab,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.6.设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.(1)解设an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)证明假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.
