1、4 二次函数性质的再研究内 容 标 准学 科 素 养1.理解yax2与ya(xb)2k(a0)及 yax2bxc的图像之间的关系2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值.提升逻辑推理发挥直观想象恰当分类讨论01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 二次函数的定义预习教材P4147，思考并完成以下问题(1)函数 yx22x2 的图像的顶点坐标是_(2)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是_提示：(1)(
2、1，3)(2)f(x)12x22x1知识梳理 二次函数的定义形如 y(a0)的函数叫做二次函数，其中 a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项解析式 yax2bxc(a0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式：ya(xh)2k(a0)；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与 x 轴有交点的二次函数才有零点式ax2bxc知识点二 二次函数的图像变换思考并完成以下问题(1)yx2 和 y2(x1)23 的图像之间有什么关系？提示：yx2 的图像各点纵坐标变为原来的 2
3、 倍，可得 y2x2 的图像；再把 y2x2 的图像向左平移 1 个单位，再向上移 3 个单位，得 y2(x1)23 的图像(2)函数 y3x2x2 的图像向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图像对应的函数解析式是_提示：y3x25x2知识梳理 二次函数的图像变换(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式 ya(xh)2k(a0)，再由二次函数 yx2的图像经过下列的变换得到：将函数 yx2 的图像各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数 yax2的图像将函数 yax2的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位得到的图像将函数 ya(xh)2 的图像向上(k0)
4、或向下(k0)平移|k|个单位得到的图像aya(xh)2ya(xh)2k(2)一般地，二次函数 ya(xh)2k(a0)，决定了二次函数图像的开口大小和方向；决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”，决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”hak知识点三 二次函数的图像和性质思考并完成以下问题(1)函数 y2x1 在1,2上的最大值是()A3 B4C5 D1(2)函数 f(x)x24x3，x1,4的最小值为_提示：(1)C(2)1知识梳理 二次函数的图像和性质a0a0图像定义域xR值域4acb24a，4acb24aa0a0单调性在，b2a 上递减，在 b
5、2a，上递增在，b2a 上递增，在 b2a，上递减图像特点对称轴：x b2a；顶点：b2a，4acb24a自我检测1二次函数 y(x3)(x1)的对称轴是()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2解析：函数与 x 轴两个交点的横坐标分别是 1 和 3，则函数的对称轴为 x132 2.答案：D2二次函数 yx24xt 的顶点在 x 轴上，则 t 的值是()A4 B4 C2 D2解析：函数图像开口向下，其最大值为 0，即41t42410，得 t4.答案：A3已知函数 yx24x6，当 x1,4时，则函数的最大值为_解析：yx24x6(x2)22，函数 yx24x6 在1,2上递减，在2,4上递增又当 x1
6、 时，y3；当 x4 时，y6，函数的最大值为 6.答案：6探究一 求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值为 8，求二次函数的解析式思路点拨 可以考虑从二次函数的三种形式着手解决，注意各种形式中的要素参数解析 法一 利用二次函数的一般式设 f(x)ax2bxc(a0)，由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.故所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.法二 利用二次函数的两根式由已知 f(x)10 的两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1(
7、a0)又函数有最大值 8，所以4a2a1a24a8.解得 a4.故所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.法三 利用二次函数的顶点式设 f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x21212，即 m12.又f(x)的最大值为 8，n8.f(x)ax1228.f(2)1，a212281，解得 a4.f(x)4x12284x24x7.故所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7.方法技巧 求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解(1)一般式：yax2bxc(a，b，c 为常数，且 a0)当已知抛物线上任意三点时
8、，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解(2)顶点式：ya(xh)2k(a，h，k 为常数，且 a0)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2 是常数，且 a0)当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式跟踪探究 1.已知二次函数 yax2bxc 同时满足下列条件：二次函数图像的对称轴是直线 x1；最值是 15；图像与 x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为 15a，则 b 的值是_解析：由题知 b2a1，4acb24a15，x21x22b2a22ca 15a，
9、解得a2，b4，c13或a15，b30，c30.又b24ac0，舍去故 b4.答案：4探究二 二次函数的性质例 2(1)如果函数 f(x)x2bxc 关于 x2 对称，那么()Af(2)f(1)f(4)Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1)Df(4)f(2)f(1)(2)函数 yx2bxc 在区间(，1)上单调递减，则 b 的取值范围是()A(，2 B2，)C(2，)D(，2)思路点拨 严格按二次函数的性质解题解析(1)函数 f(x)开口向上，所以距离对称轴越远的点，其函数值越大，即 f(2)f(1)f(4)，选项 A 正确(2)函数的递减区间是，b2，由题知(，1)，b2，所以
10、b21，所以b2，选项 A 正确答案(1)A(2)A方法技巧 1.对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于 xa 对称，有以下几种等价说法：(1)f(ax)f(ax)f(x)关于 xa 对称；(2)f(x)f(2ax)f(x)关于 xa 对称；(3)f(mx)f(nx)(其中 mn2a)f(x)关于 xa 对称2二次函数的单调性取决于两点：(1)图像的开口方向；(2)对称轴的位置在解题时可借助图像进行分析跟踪探究 2.(1)二次函数 f(x)x2ax 对任意 xR，总有 f(1x)f(1x)，则实数 a_.(2)已知函数 f(x)x2(a1)x1 在1,1上为单调函数，则实数 a 的取值
11、范围是_解析：(1)由题知，函数 yf(x)的图像关于 x1 对称，所以a21，即 a2.(2)函数 f(x)开口向上，在，a12上单调递减，在a12，上单调递增由题知，a12 1 或a12 1，解得 a1 或 a3.答案：(1)2(2)(，31，)探究三 闭区间上二次函数的最值例 3 已知函数 f(x)x24x4.若函数定义域为3,4，求函数的最值解析 f(x)(x2)28 开口向上，对称轴为 x2，所以当 x3,4时，f(x)为增函数，最小值为 f(3)7，最大值为 f(4)4.延伸探究 1.(变换条件)例 3 中将定义域“3,4”改为“3,4”，其他条件不变，求 f(x)的最值解析：f(
12、x)(x2)28 在3,2上是减函数，在2,4上是增函数，所以最小值为 f(2)8.又因为 f(3)17，f(4)4.所以最大值为 17.2(变换条件、改变问法)将本例变为：已知函数 f(x)x22xax，若对任意的 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解析：f(x)0 对 x1，)恒成立，等价于 x22xa0 对 x1，)恒成立设 yx22xa，x1，)，则 y(x1)2a1 在1，)上是增函数，从而ymin3a.于是当且仅当 ymin3a0，即 a3 时，f(x)0 对 x1，)恒成立，故实数 a的取值范围是(3，)方法技巧 求二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间
13、m，n上的最值的类型(1)若对称轴 x b2a在区间m，n内，则最小值为 f b2a，最大值为 f(m)，f(n)中较大者(或区间端点 m，n 中与 x b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若 b2am，则 f(x)在m，n上是增函数，最大值为 f(n)，最小值为 f(m)(3)若 b2an，则 f(x)在m，n上是减函数，最大值为 f(m)，最小值为 f(n)跟踪探究 3.已知函数 f(x)12x23x34.(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若 x1,4，求函数值域解析：f(x)12(x26x)3412(x3)2214(1)顶点坐标3，214，对称轴 x3，最小
14、值214，无最大值(2)若 x1,4，则 f(x)在1,3递减，3,4递增所以 f(x)minf(3)214，f(x)maxf(1)134.故函数值域为214，134.课后小结1画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向2二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到3解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为 ya(xh)2k 的形式，再依 a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴 x
15、h 得出顶点的位置，再根据 x 的定义区间结合大致图像确定最大或最小值对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论4对于二次函数 f(x)a(xh)2k(a0)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论：(1)对称轴 xh 在区间p，q的左侧，则当 hp 时，f(x)maxf(q)，f(x)minf(p)(2)对称轴 xh 在区间p，q之间，即当 phq 时，f(x)minf(h)k.当 phpq2 时，f
16、(x)maxf(q)；当 hpq2 时，f(x)maxf(p)f(q)；当pq2 hq 时，f(x)maxf(p)(3)对称轴 xh 在区间p，q的右侧，即当 hq 时，f(x)maxf(p)，f(x)minf(q)当 a0 时，可类似得到结论素养培优数形结合、分类讨论思想在求二次函数闭区间上的最值中的应用典型案例：求函数 yx22ax1 在0,2上的最值解析：y(xa)21a2.当 a0 时，0,2是函数的递增区间(如图(1)故函数在 x0 时取得最小值1，在 x2 时取得最大值 34a.当 0a1 时，结合函数图像(如图(2)知，函数在 xa 时取得最小值a21，在 x2 时取得最大值 3
17、4a.当 1a2 时，结合图像(如图(3)知，函数在 xa 时取得最小值a21，在 x0 时取得最大值1.当 a2 时，0,2是函数的递减区间(如图(4)函数在 x0 时取得最大值1，在 x2 时取得最小值 34a.点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 yf(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究特别要注意二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种：(1)对称轴在所给区间右侧；(2)对称轴在所给区间左侧；(3)对称轴在所给区间内考查数形结合、分类讨论的学科素养.04 课时 跟踪训练