1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第2课时类比推理课后篇巩固提升1.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):若a,bR,则a-b=0a=b,类比推出若a,bC,则a-b=0a=b;若a,bR,则|a|=|b|a2=b2,类比推出若a,bC,则|a|=|b|a2=b2;若a,bR,则a-b0ab,类比推出若a,bC,则a-b0ab;若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c且b=d,类比推出若a,b,c,dQ,则a+b2=c+d2a=c且b=d.其中类比结论正确的是()A.B.C.D.解析对于中,在复数集C中,若两个复数满足a-b=0,则
2、它们的实部和虚部均相等,则a=b,所以正确;对于中,在复数集C中,例如:a=1+i,b=1-i,此时|a|=|b|,但a2=2i,b2=-2i,此时a2b2,所以不正确;对于中,在复数集C中,例如:a=2+i,b=1+i,此时a-b=10,但a,b都是复数,无法比较大小,所以不正确;对于中,在有理数集中,若a+b2=c+d2,则(a-c)+(b-d)2=0,可得a=c且b=d,所以正确.故选D.答案D2.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在九章算术方田章圆田术中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程,比如在正数1
3、21+121+中的“”代表无限次重复,设x=121+121+,则可以利用方程x=121+x求得x,类似地可得到正数2+2+2+=()A.2B.3C.22D.2+1解析设x=2+2+,则x=2+x且x2,所以x2=2+x,所以x2-x-2=0,所以(x-2)(x+1)=0,所以x=2或x=-1(舍),所以2+2+2+=2.故选A.答案A3.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c;类比这个结论可知:四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为R,四面体P-ABC的体积为V,则R=()A.VS1+S2+S3+S4B.2V
4、S1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析将ABC的三条边长a,b,c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R,故R=3VS1+S2+S3+S4.答案C4.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1(ab0)表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的平面方程为()A.xa+y
5、b+zc=1B.xab+ybc+zca=1C.xyab+yzbc+zxca=1D.ax+by+cz=1解析从方程xa+yb=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是xa+yb+zc=1.答案A5.若数列an是等差数列,则数列bnbn=a1+a2+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列cn是等比数列,且dn也是等比数列,则dn的表达式应为()A.dn=c1+c2+cnnB.dn=c1c2cnnC.dn=nc1n+c2n+cnnnD.dn=nc1c2cn解析若an是等差数列,则设其首项为a1,公差为d,则a1+a2+an=na1+n(n-1)2d,bn=a1+n-12d=
6、d2n+a1-d2,即bn为等差数列;若cn是等比数列,则设其首项为c1,公比为q,则c1c2cn=c1nq1+2+(n-1)=c1nqn(n-1)2,dn=nc1c2cn=c1qn-12,即dn为等比数列.故选D.答案D6.在平面几何中,ABC中的内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC=AEBE(如图).把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于点E,则得到的结论是.图图解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比,可得AEEB=SACDSBCD.答案AEEB=SACDSBCD7.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3
7、x+4x=5x可变为35x+45x=1,由函数f(x)=35x+45x可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6-(2x+3)(2x+3)3-x2的解集是.解析将不等式化为x6+x2(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)f(2x+3),所以x22x+3,解得x3或x-1.答案(-,-1)(3,+)8.若数列an满足a1=1,an+an+1=14n,设Sn=a1+4a2+42a3+4n-1an(nN*),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn-4nan.解由题意,Sn=a1+a24+a342+an4n-1,两边同乘以4,得4Sn=a14+a242+an-14n-1+an4n,由+,得5Sn=a1+(a1+a2)4+(a2+a3)42+(an-1+an)4n-1+an4n.又a1=1,an+an+1=14n,所以a1+a2=14,a2+a3=142,所以5Sn=1+1+1n个1+an4n.故5Sn-4nan=n.
