1、2导数在实际问题中的应用A组1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A.-1B.0C.-239D.33解析:g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=33,x2=-33(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化状态如下表:x00,333333,11g(x)-0+g(x)0-2390所以当x=33时,g(x)有最小值g33=-239.答案:C2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.-eB.1-eC.-1D.0解析:y=1x-1,令y=0,x=1,列表如下:x(0,1)1(1,e)ey+0-y-11-e由于f(e)=
2、1-e,而-11-e,从而y最大值=f(1)=-1.答案:C3.函数y=f(x)=4xx2+1()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值解析:y=4(1-x2)(x2+1)2,令y=0,得x=1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时,函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值.答案:C4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=400x-12x2,0x400,80000,x400,则总利润P最大时,每年生产的产品是()A.1
3、00单位B.150单位C.200单位D.300单位解析:由题意知,总成本为C=20000+100x.而总利润为P=P(x)=R-C=300x-12x2-20000,0x400,60000-100x,x400.P(x)=300-x,0x400,-100,x400.令P(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.答案:D5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),则银行获得最大收益时,存款利率为()A.0.012B.0.024C.0.032D.0
4、.036解析:由题意,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故银行获得最大收益时,存款利率为0.024.答案:B6.已知a为实数,函数f(x)=(x2-4)(x-a),若f(-1)=0,则函数f(x)在-2,2上的最大值为.解析:f(x)=2x(x-a)+(x2-4)=3x2-2ax-4,因为f(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=12,于是f(x)=3x2-x-4=(x+1)
5、(3x-4).令f(x)=0,得x=-1或x=43,比较f(-2),f(-1),f43,f(2)可得函数f(x)在-2,2上的最大值为f(-1)=92.答案:927.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于.解析:因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上是增加的.又由于f(x)在-2,-1上是减少的,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a
6、=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.答案:-78.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为.解析:因为f(x)的图像始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,设h(x)=x2-lnx,则h(x)=2x-1x=2x2-1x,令h(x)=2x2-1x=0,得x=22,所以h(x)在0,22上是减少的,在22,+上是增加的,所以当x=22时有最小值,故t=22.答案:229.导学号01844048已知函数f(x)
7、=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y=3x+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值.解(1)依题意可知点P(1,f(1)为切点,代入切线方程y=3x+1,可得f(1)=31+1=4,所以f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2.又由f(x)=x3+ax2+bx+5,得f(x)=3x2+2ax+b,而由切线方程y=3x+1的斜率可知f(1)=3,因此3+2a+b=3,即2a+b=0,由a+b=-2,2a+b=0,解得a=2,b=-4,故a=2,b=-4.(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x
8、-4=(3x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=23或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2-2,232323,11f(x)+0-0+f(x)8极大值极小值4因此f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f23=9527.又f(-3)=8,f(1)=4,故f(x)在-3,1上的最大值为13.10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距a m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余
9、下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解(1)设需要新建b个桥墩,则(b+1)x=a,即b=ax-1.因此,y=f(x)=256b+(b+1)(2+x)x=256ax-1+ax(2+x)x=256ax+ax+2a-256.(2)由(1)知,f(x)=-256ax2+a2x=a2x2x32-512.令f(x)=0,得x32=512,所以x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)上是减少的;当64x0,f(x)在区间(64,640)上是增加的,所以f(x)在x=64处取得最小值.此时,b=ax-1=64064
10、-1=9.即需新建9个桥墩才能使y最小.B组1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=43t3-2t2,那么速度为0的时刻是()A.1秒末B.0秒C.2秒末D.0秒或1秒末解析:由题意可得v(t)=s=4t2-4t,令v(t)=s=0,解得t1=0,t2=1.答案:D2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列判断:f(x)0的解集是x|0x0,得2x-x20,所以0x2,故正确;f(x)=(2x-x2)ex=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),令f(x)=0,得x=2,容易验证f(-2)是极小值,f(2)是极大值,所以正确;不正确.答案:D3.在三棱锥O-AB
11、C中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为()A.4B.8C.43D.83解析:V=132x22y=x2y3=x2(3-x)3=3x2-x33(0x0)在-2,2上的最大值为2,则实数a的取值范围是()A.12ln2,+B.0,12ln2C.(-,0D.-,12ln2解析:当x0时,f(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-,0上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2上,eax2恒成立即可,即axln2在(0,2上恒成立,即aln2x在(0,2上恒成立,故a12ln2.答案:D5.将8分为两个非负数之和,
12、使其立方和最小,则这两个数为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0x4时,y0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.答案:B6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3-392x2-40x(x0),为使耗电量最小,则其速度应定为.解析:y=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y=0得x=40,且当0x40时,y40时,y0,所以当x=40时,y取最小值,即速度为40时,耗电量最
13、小.答案:407.导学号01844049设函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x(aR),求函数f(x)在区间a2,a上的最大值.解因为a2a,所以0a0,所以f(x)在0,12上是增加的,在12,+上是减少的.当012,a212即12a22时,f(x)在a2,12上是增加的,在12,a上是减少的,所以f(x)max=f12=a4-1-ln2;当12a2,即22a1时,f(x)在a2,a上是减少的,所以f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.综上,当0a12时,函数f(x)在a2,a上的最大值是lna-a3+a2-2a;当12a22时,函数f(x)在a2,a上的最大值是
14、a4-1-ln2;当22a1时,函数f(x)在a2,a上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.8.导学号01844050近年来,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=mx-2+4(x-6)2,其中2x6,m为常数.已知当销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).解(1)因为当x=4时,y=21,代入关系式
15、y=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知套题每日的销售量y=10x-2+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)是增加的;在103,6上,f(x)0,函数f(x)是减少的,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=1033.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
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