1、第六节对数与对数函数课标要求考情分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3体会对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.1.以选择、填空题的形式直接考查对数的运算性质2考查以对数函数为载体的复合函数的图象和性质3以比较大小或探求对数函数值域的方式考查对数函数的单调性. 知识点一 对数与对数运算1对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数
2、的底数，N叫做真数2对数的性质与运算(1)对数的性质(a0，且a1)：loga10；logaa1；aN.(2)对数的换底公式：logab(a，c均大于零且不等于1，b0)(3)对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)知识点二 对数函数的图象与性质1对数函数的图象与性质2.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.(
3、)(2)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()2小题热身(1)已知b0，log5ba，lgbc,5d10，则下列等式一定成立的是(B)Adac BacdCcad Ddac(2)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是(D)Aa1，c1Ba1,0c1C0a1D0a1,0c1(3)log29log34log45log522.(4)函数y的定义域是.(5)若log
4、a0，且a1)，则实数a的取值范围是(1，)解析：(2)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1.(4)由log(2x1)0，得02x11.x1.函数y的定义域是.(5)当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，) 考点一对数的运算【例1】(1)已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A24B16 C12D8(2)计算：log23log38()_.(3)设2a5bm，且2，则m_.【解析】(1)因为32log230，且a
5、1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.1计算：log22.解析：原式|log252|log251log252log252.2若正数a，b满足3log2a2log3blog6(ab)，则的值为72.解析：根据题意设3log2a2log3blog6(ab)k，所以有a2k3，b3k2，ab6k，72.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数ylg|x1|的图象是()(2)当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数的图象，可知，fg，即2，所以a的取值范围为.解法2：因为0x，所以14x1，所以0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlog
6、ax不成立，排除选项A.【答案】(1)A(2)B1.若本例(2)变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解：由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是.2若本例(2)变为：当0x时，logax，求实数a的取值范围解：若logax在x成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，如图所示，由图象知 loga，所以解得a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)ax与g(x)logbx
7、的图象可能是(B)解析：因为lgalgb0，所以lgab0，所以ab1，即b，故g(x)logbxlogxlogax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，结合图象知，B正确2已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是a1.解析：如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点考点三对数函数的性质及应用命题方向1 比较大小【例3】(1)(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca(2
8、)(2019天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aacb BabcCbca Dcab【解析】(1)alog20.21，c0.20.3(0,1)，acb.故选B.(2)alog520.51，故alog0.50.252，而c0.50.20.501，故cb.所以acb.【答案】(1)B(2)A命题方向2 解不等式【例4】(1)已知0a1,0b1，若alogb(x3)1，则x的取值范围为_(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_【解析】(1)a 1，即a a0.0a0，又0b1，ylogbx在(0，)上是减函数，0x31，解
9、得3x4.(2)由f(a)f(a)，即或解得0a1或a1.【答案】(1)3x4(2)(，1)(0,1)命题方向3 与对数函数有关的函数性质问题【例5】已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】由题意知，f(2x)ln(2x)lnxf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误；又f(x)(0xf(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)解析：f(x)x2在(0，)上单调递增，而0log
10、log53log5412，所以f(b)f(a)f(c)，选D.2(方向2)已知函数f(x)在区间2,2上单调递增，若f(log2m)flog4(m2)成立，则实数m的取值范围是(A)A. B.C(1,4 D2,4解析：不等式即为f(log4m2)flog4(m2)，函数f(x)在区间2,2上单调递增，即解得m0，可得x22x0，解得0x2，函数f(x)log2(x22x)的定义域为(0,2)又ylog2x在(0，)上单调递增，yx22x(0xbc BacbCbca Dbac【解析】结合函数y5x，ylogx，ylgx的图象易知0a50.7log1，clgac.故选D.【答案】D【素养解读】利用
11、指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关系，以便比较大小1若a0.3，blog52，ce，则(C)Aabc BcabCbca Dcb1；结合对数函数ylog5x在(0，)上单调递增可知blog52log5；又ce，所以bc0，则，的大小关系不可能是()A. B.C. D.【解析】解法1：取x2，则由log2xlog3ylog5z得y3，z5，此时易知，此时选项C正确取x4，则由log2xlog3ylog5z得y9，z25，此时易知，此时选项A正确取x，则由log2xlog3ylog5z得y，z，此时易知0，接下来对k与1的大小关系加以讨论若k1，则1
12、，1，1，所以，所以选项C有可能正确若0k3k15k1，所以1，则根据函数f(t)tk1在(0，)上单调递增可得2k13k15k1，所以0，则单调递增；若a0，则为常数函数；若a0，则单调递减总之，结合例题解析，希望能够帮助同学们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能如此，那么有关指数式、对数式的比较大小问题，我们真的可以说：So easy!2若log2xlog3ylog5z1，则(B)A2x3y5z B5z3y2xC3y2x5z D5z2x3y解析：设log2xlog3ylog5zt，则t1，x2t，y3t，z5t，因此2x2t1,3y3t1,5z5t1.又t1，t10，由幂函数yxt1的单调性可知5z3y2x.