1、2.3.32.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课后篇巩固提升基础巩固1.ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析因为lAB,lAC且ABAC=A,所以l平面ABC.同理可证,m平面ABC,所以lm,故选C.答案C2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M,作MEAB于E,则()A.ME平面ABCDB.ME平面ABCDC.ME平面ABCDD.以上都有可能解析由于平面ABB1B1A1平面ABCD,平面ABB1A1平面ABCD=AB,MEAB,ME平面ABB1A1,所
2、以ME平面ABCD.答案A3.设l,m,n为三条不同的直线,为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是()若l,m,则lm;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.A.1B.2C.3D.4解析对于,直线l,m可能互相平行,不正确;对于,直线m,n可能是平行直线,此时不能得知l,不正确;对于,由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,正确;对于,由lm,m得l,由n,得n,因此有ln,正确.综上所述,其中命题正确的个数是2.答案B4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且ACPC,平面P
3、AC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点解析平面PAC平面PBC,ACPC,平面PAC平面PBC=PC,AC平面PAC,AC平面PBC.又BC平面PBC,ACBC.ACB=90.动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.答案D5.设、为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题,若,则;若m,n,m,n,则;若,l,则l;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析,则与可能相交,如两个平面立在第三个平面上(一本展开的书立在课桌上).若m,n,m,n,则
4、与可能相交.正确.正确.答案B6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VCAB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)解析只要VC平面VAB,即有VCAB;故只要VCVA,VCVB即可.答案VCVA,VCVB(答案不唯一,只要能保证VCAB即可)7.如图,A、B、C、D为空间四点,在ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB平面ABC时,则CD=.解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC.又CE平面ABC,可知DECE.
5、由已知可得DE=3,EC=1,在RtDEC中,CD=DE2+CE2=2.答案28.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.证明(1)如图,在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.又EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,BAD=60,所以ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因为BF平面B
6、EF,所以平面BEF平面PAD.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PB平面ABC,PB=BC=CA=4,BCA=90,E为PC中点.(1)求证:BE平面PAC;(2)求二面角E-AB-C的正弦值.(1)证明PB平面ABC,BC平面ABC,ACPB.BCA=90,ACCB,而CB平面PBC,PB平面PBC,PBCB=B,AC平面PBC.又BE平面PBC,ACBE.E为PC中点,且PB=BC,BEPC.又PC平面PAC,AC平面PBC,PCAC=C,BE平面PAC.(2)解过E作EFBC,F为垂足,则EFPB.PB平面ABC,EF平面ABC.AB平面ABC,EFAB.过F作FMAB,M为垂足,连接E
7、M.EFFM=F,AB平面EFM.EM平面EFM,ABEM.EMF为二面角E-AB-C的平面角.在RtEFM中,EF=12PB=2,FM=FBsinB=2,EM=EF2+FM2=6.sinEMF=EFEM=26=63,故二面角E-AB-C的正弦值为63.能力提升1.设直线m,n和平面,.下列四个命题中,正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,m,n,则C.若,m,则mD.若,m,m,则m解析选项A中,m,n,m与n可能平行,可能相交,也可能异面;选项B中,m,n,m,n,与可能平行,可能相交;选项C中,m,m与可能垂直,可能斜交.答案D2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=
8、90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC的内部解析因为BC1AC,ABAC,BC1AB=B,所以AC平面ABC1.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面ABC1.又平面ABC平面ABC1=AB,所以过点C1再作C1H平面ABC,则HAB,即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.答案A3.在三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,PCA=90,ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.23B.27C.43D.47解析连接CM,则由题意知PC平面ABC,可得PCCM,所以PM=PC2
9、+CM2,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在ABC中,当CMAB时CM有最小值,此时有CM=432=23,所以PM的最小值为27.答案B4.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论:ACSB;AB平面SCD;AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角;二面角B-SD-C的大小为45.其中正确结论的序号是.解析由题意,AC平面BDS,所以ACSB,故正确;ABCD,所以AB平面SCD,故正确;AB与SC所成的角是SCD,DC与SA所成的角是SAB,两者不相等,故错误;二面角B-SD-C的平面角是BDC,是45,故正确.所以正确的序号是.答案5.如图,A,B,C
10、,D为空间四点,在ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB平面ABC时,CD=.解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC.可知DECE.由已知可得DE=3,EC=1,在RtDEC中,CD=DE2+CE2=2.答案26.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,BAD=90,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.解析过A作AOBD于点O,平面ABD平面BCD,AO平面BCD,则ADO即为AD与平面BCD所成的角.BAD=90,AB=
11、AD,ADO=45.答案457.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,N是PB的中点,截面DAN交PC于M.(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;(2)求证:PB平面ADMN.解(1)取AD中点O,连接PO、BO、BD.PAD是正三角形,POAD.又平面PAD平面ABCD,PO平面ABCD,BO为PB在平面ABCD上的射影,PBO为PB与平面ABCD所成的角.由已知ABD为等边三角形,得PO=BO=3,PB与平面ABCD所成的角为45.(2)证明ABD是正三角形,ADBO.ADPB.又PA=AB=2,N为PB中点
12、,ANPB,ANAD=A,BP平面ADMN.8.如图所示,在ABC中,AC=BC=22AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC;(2)求证:AC平面EBC;(3)求该五面体的体积.(1)证明连接AE.四边形ABED为正方形,AEBD=F,且F是AE的中点,GFAC.又AC平面ABC,GF平面ABC.(2)证明四边形ABED为正方形,EBAB.又平面ABED平面ABC,平面ABED平面ABC=AB,BE平面ABC,BEAC.CA2+CB2=AB2,ACBC.又BCBE=B,AC平面EBC.(3)解取AB的中点N,连接CN.因为AC=BC,CNAB.又平面ABED平面ABC,平面ABED平面ABC=AB,CN平面ABC,CN平面ABED.ABC是等腰直角三角形,CN=12AB=12.五面体C-ABED是四棱锥,V四棱锥C-ABED=13S四边形ABEDCN=13112=16.
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