1、第二章数列习题课数列求和课后篇巩固提升基础巩固1.已知数列an的前n项和为Sn,若an=,则S5等于()A.B.C.D.解析因为an=,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=.答案D2.已知数列an满足a1=1,an-1=2an(n2,nN*),则数列an的前6项和为()A.63B.127C.D.解析由已知an-1=2an(n2,nN*)得,所以数列an是以1为首项,为公比的等比数列,所以数列an的前6项和为.故选C.答案C3.数列1,2,3,4,的前n项和为()A.(n2+n-2)+B.n(n+1)+1-C.(n2-n+2)-D.n(n+1)+3解析数列的前n项和为1+2+3+n+=(1+
2、2+3+n)+-1=(n2+n-2)+,故选A.答案A4.已知an为等比数列,bn为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,则数列cn的前10项和为()A.978B.557C.467D.979解析由题意可得a1=1,设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,则q2-2q=0.q0,q=2,d=-1.an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n.设数列cn的前n项和为Sn,则S10=20+0+21-1+29-9=(20+21+29)-(1+2+9)=1023-45=978.答案A5.已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=1+cos2an
3、+sin2,则该数列的前18项和为()A.2 101B.2 012C.1 012D.1 067解析由题意可得a3=a1+1,a5=a3+1=a1+2,所以奇数项组成以公差为1,首项为1的等差数列,共有9项,因此S奇=45.偶数项a4=2a2,a6=2a4=22a2,因此偶数项组成以2为首项,2为公比的等比数列,共有9项,所以S偶=-2+210=1022.故数列an的前18项和为1022+45=1067.答案D6.已知数列an的通项公式an=2n-,则其前n项和为.解析数列an的前n项和Sn=+=2(1+2+n)-=2=n2+n+-1.答案n2+n+-17.已知an是等差数列,bn是等比数列,且
4、b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4,则数列an+bn的前n项和为.解析设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则由b2=3,b3=9,a1=b1,可得q=3,a1=b1=1.又因为a14=b4,即1+13d=27,所以d=2,所以数列an+bn的前n项和为n+2+=n2+.答案n2+8.数列,的前n项和等于.解析an=,Sn=.答案9.已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知,从而数列的前n项和为Tn
5、=.10.已知等差数列an的公差为2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,求证:Sn0,Sn=6-6.能力提升1.已知数列an的通项公式an=(-1)n-1n2,则其前n项和为()A.(-1)n-1B.(-1)nC.D.-解析依题意Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.当n为偶数时,Sn=12-22+32-42+-n2=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-1+2+3+4+(n-1)+n=-.当n为奇数时,Sn=12-22+32-42+-=Sn-1+n2=-+n2=.Sn=(-1)n-1.故选A.
6、答案A2.已知数列an为,则数列bn=的前n项和Sn为()A.4B.4C.1-D.解析an=,bn=4.Sn=4=4.答案A3.已知Sn是数列an的前n项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列,则S25=()A.232B.233C.234D.235解析令bn=an+an+1+an+2,则b1=1+2+3=6,由题意知bn=6+2(n-1)=2n+4.因为S25=a1+a2+a3+a25=a1+b2+b5+b23,而b2,b5,b23构成公差为6的等差数列,且b2=8,于是S25=1+88+6=233.答案B4.定义为n个正数p1,p2,pn的“均倒数
7、”.若已知数列an的前n项的“均倒数”为,又bn=,则+=()A.B.C.D.解析由题意得,所以a1+a2+an=n(3n+1)=3n2+n.记数列an的前n项和为Sn,则Sn=3n2+n.当n=1时,a1=S1=4;当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-3(n-1)2+(n-1)=6n-2.经检验a1=4也符合此式,所以an=6n-2,nN*,则bn=n,所以+=1-+=1-.故选C.答案C5.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前n项和等于.解析数列的通项为an=1+2+22+2n-1,因为an=1+2+22+2n-1=2n-1,所以该数列的前n项和Sn=(21-
8、1)+(22-1)+(2n-1)=(2+22+2n)-n=-n=2n+1-n-2.答案2n+1-n-26.已知数列an的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=,Tn是数列bn的前n项和,则使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m等于.解析由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.bn=,Tn=+.,要使对nN*成立,需有,即m10,故符合条件的最小正整数为10.答案107.(2020全国高考,理17)设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn.解(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an
9、+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1),a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=32+522+723+(2n+1)2n.从而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.8.已知数列an的前n项和为Sn,S1=1,S2=2,当n2时,Sn+1-Sn-1=2n.(1)求证:an+2-an=2n(nN*);(2)求数列an的通项公式;(3)设Tn=a1+a2+a3+an,求Tn.(1)证明当n2时,因为an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+1,所以an+2-an=2n.又因为a1=1,a2=1,a3=3,所以a3-a1=2,所以an+2-an=2n(nN*).(2)解当n为奇数时,an-a1=(an-an-2)+(an-2-an-4)+(a5-a3)+(a3-a1)=2n-2+2n-4+23+2=(2n-1-1),所以an=.同理,当n为偶数时,an=.故数列an的通项公式是an=(3)解由于Tn=a1+a2+a3+an,Tn=a1+a2+an-1+an,+得Tn=n+an.所以当n为奇数时,Tn=n+;当n为偶数时,Tn=n+.故Tn=
