1、模块复习课MOKUAIFUXIKE第2课时导数的四则运算及几何意义课后篇巩固提升A组1.若函数f(x)=13x3-f(1)x2-x,则f(1)的值为()A.0B.2C.1D.-1解析f(x)=x2-2f(1)x-1,则f(1)=12-2f(1)1-1,解得f(1)=0.答案A2.(2020全国,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1解析对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y
2、-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.答案B3.已知物体的运动方程是s=14t4-4t3+16t2(t表示时间,单位:s;s表示位移,单位:m),则瞬时速度为0的时刻是()A.0 s,2 s或4 sB.0 s,2 s或16 sC.2 s,8 s或16 sD.0 s,4 s或8 s解析s=14t4-4t3+16t2=t3-12t2+32t=t(t-4)(t-8),令s=0,则有t(t-4)(t-8)=0,解得t=0或t=4或t=8.答案D4.设过曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=ax+2cos x上一点处的切线l2,使得l1
3、l2,则实数a的取值范围为()A.-1,2B.(-1,2)C.-2,1D.(-2,1)解析由题意得f(x)=-ex-1,g(x)=a-2sinx,则对任意x1R,存在x2R,使得(-ex1-1)(a-2sinx2)=-1,即函数y=1ex1+1的值域为函数y=a-2sinx2的值域的子集,从而(0,1)a-2,a+2,即a-20,a+21-1a2.故选A.答案A5.若函数f(x)=2sin x(x0,)在点P处的切线平行于函数g(x)=2xx3+1在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为()A.1B.12C.83D.2解析f(x)=2cosx,x0,f(x)-2,2,g(x)=x+1x2,当且仅当x
4、=1时,等号成立.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由题意知2cosx1=x2+1x2,2cosx1=2,且x2+1x2=2.x10,x1=0.y1=0,x2=1,y2=83.kPQ=y2-y1x2-x1=83.答案C6.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.解析y=2ax-1x,依题意得当x=1时,y=2a-1=0,a=12.答案127.函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN+,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析y=2x,点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak),又该切
5、线与x轴的交点为(ak+1,0),ak+1=12ak,即数列ak是等比数列,首项a1=16,公比q=12,a3=4,a5=1,a1+a3+a5=21.答案218.设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图像在点(1,f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f(x)的最小值是-12,求a,b,c的值.解f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,c=0.f(x)=3ax2+b的最小值为-12,且a0,b=-12.又f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,f(1)=3a+b=-6,a=2.综上可得,a=2,b=-1
6、2,c=0.9.求下列函数的导数:(1)y=sin-2x+3;(2)y=102x+3;(3)y=cos2xsinx+cosx;(4)y=xlnx.解(1)原函数可看作y=sinu,u=-2x+3的复合函数,则yx=yuux=cosu(-2)=-2cos-2x+3=-2cos2x-3.(2)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,则yx=yuux=102x+3ln102=(ln100)102x+3.(3)y=cos2xsinx+cosx=cos2x-sin2xsinx+cosx=(cosx+sinx)(cosx-sinx)sinx+cosx=cosx-sinx,y=(cosx-sinx)
7、=-sinx-cosx.(4)y=xlnx=12xlnx,y=12xlnx+12x(lnx)=12lnx+12.10.已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f(x).(1)求f(1)+f(1).(2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.分析(1)先将函数f(x)的导数求出,再代入求值.(2)垂直于y轴的切线斜率为0,利用f(x)=0存在实数解求范围.解(1)由题意知,函数f(x)=ax2+lnx的定义域为(0,+).f(x)=(ax2+lnx)=2ax+1x,f(1)+f(1)=3a+1.(2)曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,此时切线的斜率为0.问题转化为在x
8、0的范围内导函数f(x)=2ax+1x存在零点,即f(x)=0,即2ax+1x=0有正实数解,也即2ax2=-1有正实数解,a0,所以ex+1ex2ex1ex=2当且仅当ex=1ex,即x=0时等号成立,则ex+1ex+24,故y=-1ex+1ex+2-14(当x=0时等号成立).当x=0时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为0,12,切线的方程为y-12=-14(x-0),即x+4y-2=0.答案A3.若曲线C1:y=ax3-6x2+12x与曲线C2:y=ex在x=1处的两条切线互相垂直,则实数a=.解析设f(x)=ax3-6x2+12x,g(x)=ex,则f(x)=3ax2-12x
9、+12,g(x)=ex,f(1)=3a,g(1)=e.由题意3ae=-1,a=-13e.答案-13e4.设函数f(x)在x=x0处的导数为A,试求下列各式的值:(1)limx0f(x0-x)-f(x0)x;(2)limx0f(x0+4x)-f(x0+5x)2x.解(1)原式=limx0f(x0-x)-f(x0)-(-x)=-limx0f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-A.(2)原式=limx0f(x0+4x)-f(x0)+f(x0)-f(x0+5x)2x=2limx0f(x0+4x)-f(x0)4x-52limx0f(x0+5x)-f(x0)5x=2A-52A=-12A.5.设曲线y=xn(1-x)(xN+)在x=2处的切线斜率为an,求数列ann+2的前n项和.解y=xn(1-x)=xn-xn+1,y=(xn)-(xn+1)=nxn-1-(n+1)xn.当x=2时,导函数值即为an,an=n2n-1-(n+1)2n=n2n-1-2(n+1)2n-1=-(n+2)2n-1,ann+2=-2n-1(nN+).数列ann+2的前n项和为-(1+2+4+2n-1)=-1(1-2n)1-2=1-2n(nN+).
