1、江苏省南京市2007年1月质量调研高三数学试题如果事件A，B相斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.Pn(k)=CPk(1-P)n-k一组数据x1,x2,，xn的方差s2=其中为这组数据的平均数.第卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知不等式的解集为A，函数y=lg(4x-x2)的定义域为B，侧AB=( )A.(0，2)B.-1，0C.2，4D.1，42.，为
2、平面，m为直线，如果,那么“m”是“m”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分不必要条件3.现有同一型号的汽车50辆，为了了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1L所行路程的试验，得到如下数据(单位：km)：11，15，9，12，13.则样本方差是( )A.20B.12C.4D.24.若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1+a2+a3+a4+a5=( )A.-1B.0C.1D.25.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2-2x-15=0的半径，则椭
3、圆的标准方程是( )A.B.C. D. 6.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形7.设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与右准线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x,y)为D内一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为A.-2B.C.0D.8.将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A.15种B.20种C.25种D.32种9.函数y=e|Inx|-|x-2|的图象大致是( )10.A，B两位同位各有3张卡片，现以
4、投掷无效匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是( )A.B.C.D.题号12345678910答案第卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11.已知两条直线l1：x+(3+m)y=2,l2：mx+2y=-8,若l1l2,则m=_.12.在等比数列an中，已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列前15项的和S15=_.13.如果函数f(x)=的反函数是f -1(x)=,那么a=_.14.已知cos()=15
5、.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各2dm，左右空白各1dm，则四周空白部分面积的最小值是_dm2.16.下列四个命题：在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等；在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等；在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距相等的点；在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点.其中真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分)已知向量a
6、=(cos2x,sin2x),b=(),函数f(x)=ab+m.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当时，f(x)的最小值为5，求m的值.18.(本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分)已知函数y=f(x)是定义在区间上的偶函数，且x时，f(x)=-x2-x+5.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值.19.(本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分5分，第三小问满分6分)如图，在梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB=a,ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形AC
7、FE是矩形，AE=a，点M在线段EF上.(1)求证：BC平面ACEF；(2)当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论；(3)求二面角B-EF-D的大小.20.(本小题满分14分，第一小问满分5分，第二小问满分9分)已知曲线C上任意一点M到点F(0，1)的距离比它到直线l：y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程；(2)若过点P(2，2)的直线m与曲线C交于A，B两点，设，当=1时，求直线m的方程；当AOB的面积为4时(O为坐标原点)，求的值.21.(本小题满分14分，第一小问满分，第二小问满分5分，第三小问满分5分)已知数列an的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+(1)求证：
8、an+1+an=4n+2；(2)求数列an的通项公式；(3)是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.南京市2007年1月质量调研高三数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.B3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.C10.D二、填空题：每小题5分，满分30分.11.-2 12.1113.-314.-15.5616.三、解答题17.解：(1)由题意知：f(x)=cos2x+sin2x+m =2sin(2x+)+m.(4分) 所以，f(x)的最小正周期为T=. (6分)(2)由(1)知：f(x)=2sin(2x+
9、)+m.当x时，2x+.所以当2x+=时，f(x)有最小值为-+m.(10分)又f(x)的最小值为5，-+m=5,即m=5+.(12分)18.解：(1)当x时，-x.f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又f(x)是偶函数，f(x)=f-(-x)=-x2+x+5.(4分)f(x)=(5分)(2)由题意，不妨设A点在第一象限，坐标为(t,-t2+5),其中t则S(t)=S矩形ABCD=2t(-t2-t+5)=-2t3-2t2+10t.(9分)S=-6t2-4t+10,由S=0得t1=-(舍去)，t2=1.(11分)当0t0，t1时，S0，S(t)在(0，1)上单调增，在上单调递
10、减.当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，且此极大值也是S(t)在t上的最大值.从而当t=1时，矩形ABCD面积取得最大值6.19.(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD,AD=DC=CB=a，ABC=60，ACBC.又平面ACFE平面ABCD，交线为AC，(3分)BC平面ACFE.(5分)(2)解法一：当EM=时，AM平面BDF.(6分)在梯形ABCD中，设ACBD=N,连结FN，则CNNA=12.EM=，而EF=AC=EMMF=12. AMNF.(8分)又NF平面BDF，AM平面BDF，AM平面BDF.(10分)解法二：当EM=时，AM平面BDF.(6分)由(1)知，以点C为原点，C
11、A，CB，CF所在直线坐标轴，建立如图所示的直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，a，0)，A()D，F(0,0,a)，E().AM平面BDF，AM平面BDF与共面，也等价于存在实数m,n，使=m.又从而要使得(-)=m(0,a,-a)+n成立，需解得t=当EM=时，AM平面BDF.(3)解法一：取EF中点G，EB中点H，连结DG，GH，DH.DE=DF，DGEF.BC平面ACFE，BCEF.又EFFC，EFFB.又GHFB，EFGH.DGH是二面角B-EF-D的平面角.(13分)在BDF中，DE=EDB=90.DH=又DG=在DGH中，由余弦定理得cosDGH=即二面角B-EF-D的大小为
12、(16分)解法二：由(1)知，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系.则C(0，0，0)，B(0,a,0),A(),F(0,0,a)，E().过D作DGEF，垂足为G，令由得，即.BCAC，ACEF，BCEF， BFEF.二面角B-EF-D的大小就是向量与向量所成的角.(14分)=(0,a,-a)，cos二面角B-EF-D的大小为arccos(16分)解法三：二面角B-EF-D可分为二面角D-EF-C与二面角B-EF-C两个二面角之和.BC平面ACFE，EFFC，EFBF.CFB为二面角B-EF-C的平面角.在RtBCF中，BC=CF=a，FCB=90，BFC
13、=过D作DTAC于T，DGEF于G，连结TG，则DT平面EFCA.EFTG,DGT为二面角D-EF-C的平面角.(13分)DT=二面角D-EF-C的大小为arctan二面角B-EF-C的大小为(16分)20.(1)解法一：设M(x,y)，则由题意得|MF|=|y+2|-1,即(2分)当y-2时，两边平方得x2=4y；当y-2时，两边平方得x2=8y+8,因y0对kR恒成立，直线m与曲线C恒有两个不同交点.设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k.x1x2=8(k-1).由，且=1得，P为A，B中点，x1+x2=4.把代入得，4k=4,k=1.直线m的方程是
14、x-y=0.|AB|AB|=点到直线的距离d.ABO=(10分)SABO=4，4(k-1)2=1,或(k-1)2=-2,(不合)(12分)由(k-1)2=1解得，k=0,或k=2.1当k=0时，方程的解为x=2当x1=2，x2=-2时，=；当x1=-2，x2=2,=.2当k=2时，方程的解为42，同理可得，=3+2，或=3-2.(14分)21.(1)证明，Sn=n2+，Sn+1=(n+1)2+，(2分)由-得Sn+1-Sn=an+1+an=4,a2k+1-a2k-1=4.(7分)在中令n=1得,S1=12+,S1=a1,a1=2.(9分)解法二：由式知，an+1-(2n+2)=-(an-2n)记bn=an-2n,则bn+1=-bn.(7分)在中令n=1得，S1=12+从而b1=0.bn=(-1)n-1b1=0,即an=2n.(9分)(3)解：令f(n)=(1-)(1-)(1-)，f(n+1)f(n).f(n)max=f(1)=(11分)不等式(1-)(1-)对一切正整数n都成立等价于f(n)a-对一切正整数n都成立.等价于f(n)maxa-.即，或-a0.综上所述，存在实数a适合题意，a的取值范围是.(14分)