1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若abb3C.a2b2D.2解析因为ab-2,且x0,则的取值范围是()A.B.C.(0,+)D.(0,+)解析因为x-2,且x0,所以当x0时,有0;当-2x0时,有0,则原点一侧对应的不等式是3x+2y+50,可以验证仅有(-3,4)满足3x+2y+50,故选A.答案A4.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值是()A.-6B.-2C.0D.2解析曲线y=|x|与y=2围成的封闭区域为RtAOB及其内部(如图阴影部分).设2x-y=z,则y=2x-z,要使z最小,则-z
2、最大,当直线y=2x-z经过点B(-2,2)时,-z最大,即zmin=2(-2)-2=-6.故选A.答案A5.若关于x的不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则实数a的取值范围是()A.(-,-4B.-4,+)C.-12,+)D.(-,-12解析由题知不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则只需在1x4内a(2x2-8x-4)max即可,设y=2x2-8x-4,y=2x2-8x-4(1x4)在x=4时,取最大值-4,当a-4时,2x2-8x-4a在1x4内有解.故选A.答案A6.已知变量x,y满足约束条件则z=的最大值为()A.B.C.0D.2解析可行域如图阴影部分所示,z=的几何
3、意义是可行域内的点与点(-1,0)的连线的斜率.由图知,当连线经过点A时,目标函数取得最大值.由可得A,则z=的最大值是.答案A7.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意的xR恒有f(x)0,则f(1)等于()A.6B.5C.4D.3解析依题意得a2-4(-3a-9)0,即a2+12a+360,(a+6)20,所以a=-6.所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=4,故选C.答案C8.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.有最大值4B.ab有最小值C.有最大值D.a2+b2有最小值解析因为a+b=1,所以=(a+b)=2+4,当且仅当a=b=时,取等号,故选项A错误;因为1=a+b2,
4、则ab,当且仅当a=b=时,取等号,故选项B错误;因为1=a+b,所以,当且仅当a=b=时,取等号,故选项C正确;a2+b2,当且仅当a=b=时,取等号,故选项D错误.答案C9.当x0时,x2+mx+40恒成立,且关于t的不等式t2+2t+m0有解,则实数m的取值范围是()A.1,+)B.-4,1C.(-,-41,+)D.(-,-4解析当x0时,x2+mx+40恒成立,m-.x+2=4,当且仅当x=2时取等号,m-4.关于t的不等式t2+2t+m0有解,=4-4m0,m1.故实数m的取值范围是-4,1.故选B.答案B10.已知x,y满足约束条件若z=y-kx取得最小值的最优解不唯一,则实数k的
5、值为()A.或1B.-2或-C.-或1D.-2或1解析作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,当直线z=y-kx与直线2x+y-3=0重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=-2;当直线z=y-kx与直线y=x重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=1.故实数k的值为-2或1.答案D11.(2020全国高考)若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|0解析2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y.f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)f(y),x0,y-x+11,ln(y-x+1)ln1=0.故选A.答案A12.已知x,y满足约
6、束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为6,则的最小值为()A.B.C.D.解析不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示.根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=6,即2a+3b=3,从而(2a+3b)(26+24)=,当且仅当a=b时取等号.从而的最小值为.故选D.答案D二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式2的解集是.解析不等式可化为-20,即0,所以-1x0.故不等式的解集为x|-1x0.答案x|-1x0的解集为x|1x0的解集为A,关于x的不等式3ax+cm0的解集为B,且AB,求实数m的取值范围.解(1
7、)由题意知1,3是关于x的方程ax2+x+c=0的两个根,且a0,即为-x2+2x-30,解得2x6,所以A=(2,6).又因为3ax+cm0,解得x-m,所以B=(-m,+).因为AB,所以-m2,即m-2.故实数m的取值范围是-2,+).18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x2-2ax+10,其中aR.(1)解该不等式;(2)若不等式对任意的x恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当=4a2-40,即-1a1时,不等式的解集为R;当=4a2-40,即a1或ax2,不等式的解集为xx1或xx2.综上,当-1a1时,不等式的解集为R;当a1或a-1时,不等式的解集为.(2)关于x的不等式
8、x2-2ax+10对任意的x恒成立,即2axx2+1,所以2a.由于x,所以=x+2,当且仅当x=1时,取等号,故的最小值为2,要使不等式恒成立,应满足2a2,即a1.故实数a的取值范围为(-,1.19.(本小题满分12分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边所成的角为60(如图所示),考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 m2,且高度不低于 m.问防洪堤横断面的腰长AB为多少时,横断面的外周长(AB+BC+CD)最小,并求最小外周长.解设腰长AB=xm,横断面的高度为hm,外周长为ym,则有9(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所
9、以9(2BC+x)x,解得BC=.由得2x6.所以y=BC+2x=x(2x6).由y=x2=6,当且仅当x,即x=2时等号成立.故外周长AB+BC+CD的最小值为6m,此时腰长AB为2m.20.(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.如何安排生产,使该企业可获得最大利润?最大利润为多少?解设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,该企业获得的利润为z万元,则z=5x+3y,且
10、x,y满足画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.联立解得将z=5x+3y化为y=-x+.由图可知,当直线y=-x+经过点P(3,4)时,直线在y轴上的截距最大,即z最大,且z的最大值为z=53+34=27.故该企业生产甲产品3吨,乙产品4吨时,可获得最大利润,最大利润为27万元.21.(本小题满分12分)已知x,y满足(1)若y0,且k=-4时,求不等式组表示的平面区域的面积;(2)若z=x+3y的最大值为12,试求k的值.解(1)画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分),求得点A,B(2,0).于是所求的平面区域的面积为S=2.(2)由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故
11、应对k的取值进行讨论:若k0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图中的阴影部分),由于z=x+3y,所以y=-x+z,因此当直线y=-x+z经过平面区域中的点A(0,-k)时,z取到最大值,且zmax=-3k.令-3k=12,得k=-4,这与k0相矛盾,舍去.若k0)的最小值;(2)对于任意的x0,2,不等式f(x)a成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得y=x+-4.因为x0,所以x+2.当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以y-2.故当x=1时,y=的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“任意的x0,2,不等式f(x)a成立”只要“x2-2ax-10在0,2上恒成立”.不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)0在0,2上恒成立.所以解得a.所以a的取值范围是.
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