1、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；f(-x)f(x)=1是偶；f(x)f(-x)=-1为奇函数.（1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数常用性质：1是既奇又偶
2、函数； 2奇函数若在处有定义，则必有； 3偶函数满足； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 www.ks5（2） 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且 总有则称在区间M上单调递增 总有则称在区间M上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数
3、法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-同增异减 www.ks5 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个
4、周期。（自己证明）（推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期（3）若；则是周期函数，2是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2ax) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2ax，2by）也在y = f (x)图像上， 2by = f (2ax) 即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y =
5、 f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故点P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得证。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件
6、是f (x) = f (x)定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 或 f (x) = f (2ax)定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。 www.ks5二不同函数对称性定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (bx)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】例1 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且 奇函
7、数（2），关于原点对称 奇函数 （3），关于原点对称 既奇又偶（4）考虑特殊情况验证： ；无意义； 非奇非偶（5）且，关于原点对称 为偶函数例2（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）（恒等定理） 时，奇函数来源：高考%资源网 KS%5U （2） （恒等定理） 巩固：已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（）简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= - f（-1）知（）解法一：由（）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式例3 求函数的
8、解析式（1）为R上奇函数，时，解：时， www.ks5（2）为R上偶函数，时，解：时， 例4 求下列函数的增区间（1）（2）答案：（1）， （2）作图 例5若在区间，求取值范围。答案：分类讨论（1） 当在区间，符合题意 当时，要在区间，则有 例6 ，为偶函数，试比较的大小关系。解： 为偶函数 则函数关于直线x=2对称 在（0，2） (提示：看离对称轴的远近)例7 为偶函数，若，求取值范围。解： 例8 求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令 T=2周期函数（2） T=4周期函数（3） T=4（4） www.ks5 T=8例9 ，偶函数，周期函数，T
9、=2，则 ，求当时， 。答案： 例10 ，偶函数，奇函数，则 。答案：奇偶 奇 巩固例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y = f
10、 (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当
11、1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；来源：高考%资源网 KS%5U 又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在R上的奇函数，
12、点（0，0）是其对称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B) www.ks5【作业】1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列”。两位学生分别构造了一个函数（）： 请你判断，正确的结论是（ ） A. 都对 B. 对错 C. 错对 D. 都错2. 函数
13、与的图像关于（ ）A. y轴对称 B. 原点对称C. 直线x=1对称 D. 关于y轴对称且关于直线x=1对称3. 若函数在（）上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在（）上存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若，则它们的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是（ ）7. 函数（ ）A. 在（1，）内单调递增 B. 在（1，）内单调递减C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调
14、递减8. 函数的定义域为，值域为，其反函数为，则的（ ）A. 定义域为，值域为B. 定义域为，值域为C. 定义域为，值域为D. 定义域为，值域为9. 已知函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如图所示，则的值是（ ）A. B. C. D. 10. 已知是偶函数，则图像的对称轴是（ ） A. B. C. D. 11. 对任意，有，时，则（ ） A. B. C. D. 12. 方程的两个根均大于1，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 13. 若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）A. B. C. D. 14. 把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角
15、形面积之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 15. 设函数的反函数为，且，则 。16. 函数的定义域是 。17. 已知函数在上有定义，当且仅当时，且对任意都有，试证明：（1）为奇函数；（2）（）上单调递减。来源：高考%资源网 KS%5U 18. 设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）证明：在（0，+）上是增函数。19. 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：一、函数的单调性1单调性的证明定义法：例 判断函数的单调性，并用定义证明。练习：已知函数，点在的反函数图像上。（1）求的反函数；（2）证明在定义域内是减函数2单调性的简单应用：例
16、1（1）函数的单调增区间是_（2）已知在是减函数，则的取值范围是_练习：若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_高考真题：已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）例2 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A B C D例3 设函数，给出下述命题：有最小值；当时，的值域为；当时，在区间上有反函数；来源：高考%资源网 KS%5U 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是则其中正确的命题是_（要求：把正确命题的序号都填上）例4 函数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 若，解不等式 二函数的奇偶性：例1
17、 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数例2 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时，_ .练习：已知函数，若为奇函数，则_例3 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；例4 若奇函数满足，则_三函数的周期性：例1 函数对于任意实数满足条件，若则_。例2 是定义在R上的偶函数，图象关于对称，对任意，有，且求；的值证明：是周期函数；例3 是定义在R上的奇函数，且对一切，恒有求证：是周期函数；若，求的值。例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0
18、 (C) 1 (D)2例5 若存在常数，使得函数满足()，则的一个正周期为_例6 已知定义在R上，最小正周期为5的函数满足，且，则在区间内，方程的解的个数至少为_个例7 定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_例8 定义在R上的函数满足，则当的最小值是_ www.ks5例9 已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则（ ）A0B4C4D不能确定例10 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= _ .例11 设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，_例12 定义在R上的函数为周期函数，最小正周期为T，若函数，时有反函数，则函数，的反函数为（ ）ABCD例13已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）四反函数：例1 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A B C D例2 设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（A） （B） （C） （D）例3 函数 的反函数是AB CD例4 函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D） www.ks5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m