1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。13空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系必备知识自主学习1.空间直角坐标系(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量i，j，k称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.【思考？】什么是右手直角坐标系？提示：右手直角坐标系是指让右手的拇指指向x轴正方向
2、，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向所建立的坐标系；高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手直角坐标系2空间向量的坐标表示(1)点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，存在唯一有序实数组(x，y，z)，使xiyjzk，则对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标(2)向量的坐标给定向量a，若a，则axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a(x，y，z).【思考？】在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？为什么？提示：是在给定的空间直角坐标系下，
3、给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底()(2)在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c).()(3)点A(1，2，1)在x轴上的射影是(1，0，0).()(4)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z).()提示：(1).单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直(2).x轴上的点的坐标应是(a，0，0).(3).由点A在x轴上的射影知y0，z0.(4).只有
4、当A点是坐标原点，向量的坐标为(x，y，z)时点P的坐标才是(x，y，z).2已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是()A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)【解析】选A.点B的三个坐标都是1，所以向量的坐标是(1，1，1).3(教材二次开发：例题改编)在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是_【解析】3i2j5k，所以向量在基底i，j，k下的坐标是(3，2，5).答案：(3，2，5)关键能力合作学习类型一空间向量的坐标表示(直观想象)【典例】在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边
5、长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标【思路导引】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以BC的中点D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把各向量分别用，表示出来，再写出它们的坐标【解析】分别取BC，B1C1的中点D，D1，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，因为AD，DC，所以2k，ij2k，ij2k，所以(0，0，2)，.用坐标表示空间向量的方法步骤如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别
6、是AB，PC的中点，并且PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标【解析】因为PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为()()e2e3，所以.类型二求点的坐标(直观想象)【典例】 已知在棱长为2的正四面体ABCD中，以BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求M点的坐标【思路导引】O为坐标原点，向量的坐标就是M点的坐标【解析】易知BCD的中线长为2，则OC.所以OA，设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC
7、的交点为E，则OEBD，所以()()()ijk，所以.所以M点的坐标为.用向量求点的坐标的方法建立空间直角坐标系后，通过向量的运算获得向量的坐标后，如果起点是坐标原点，那么向量的坐标就是终点的坐标如图所示，在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA1，OB2，OC3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标【解析】令x，y，z轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为()()()i2j3kijk.所以点P坐标为.课堂检测素养达标1设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，
8、则ab的坐标为()A(2，11，10) B(2, 11，10)C(2, 11，10) D(2, 11，10)【解析】选A.ab2e111e210e3，由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，所以ab(2，11，10).2如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于()A BC D【解析】选C.由题图知B(1，1，0)，E，所以.3(教材二次开发：练习改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_【解析】由题图可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，所以(1，0，0)，(0，0，1)(1，0，0)(1，0，1).答案：(1，0，0)(1，0，1)4若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且设a2ij3k，则向量a的坐标为_【解析】由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为(2，1，3).答案：(2，1，3)5在三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_【解析】如图所示()()，故.答案：关闭Word文档返回原板块