1、第三章数系的扩充与复数的引入习题课复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题图知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,则=-i,所以其在复平面内对应的点为-,-,在第三象限.故选C.答案C2.已知a,bR,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则a,b的值分别是()A.a=-3,b=2B.a=3,b=-2C.a=-3,b=-2D.a=3,b=2解析由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.答案A3.设x,yR,i为虚数
2、单位,(x+i)x=4+2yi,则=()A.B.C.2D.解析(x+i)x=4+2yi,x,yR,x2+xi=4+2yi,可得x2=4,x=2y,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4yi|=|2+4i|=2,或|x+4yi|=|-2-4i|=2.又|1+i|=,故选A.答案A4.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值等于.解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或a=-.答案11或-5.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.解析设z=x+yi(x,yR),则有+2x+2yi=13
3、+6i,于是解得因为13-2x=0,所以x,故x=舍去,故z=4+3i.答案z=4+3i6.已知zC,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于.解析由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为.答案7.已知复数z=,z1=2+mi.(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.解(1)z=1+i.因为|z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|=5,所以9+(m+1)2=25.解得m=
4、-5或m=3.(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以解得-2a0.故实数a的取值范围是(-2,0).8.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.(2)设z=m+ni(m,nR),由|-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.
