1、第7讲离散型随机变量及其分布列1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1，2，n)；pi1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量
2、X服从两点分布，则其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列为超几何分布列.X01mP做一做1袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是()A取到红球的次数B取到白球的次数C2次取到的红球总数D取球的总次数答案：D1辨明两个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的(2)对于分布列易忽视其性质p1p
3、2pn1及pi0(i1，2，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确2分布列的三种求法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列做一做2已知离散型随机变量的分布列为123nP则k的值为()A.B1C2 D3解析：选B.由1，k1.3一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X4)的值为_解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个
4、新球，故P(X4).答案：_离散型随机变量的分布列的性质_设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性质知：020.10.10.3m1，解得m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3规律方法离散型随机变量分布列性质的应用：(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若为随机变
5、量，则21，|1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列1.随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|1)_，公差d的取值范围是_解析：a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.答案：_离散型随机变量的分布列(高频考点)_离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：(1)与排列、组合有关的分布列的求法；(2)与互斥事件有关的分布列的求法；(3)与
6、独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法(下一讲内容)(2014高考江苏卷节选)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数求X的概率分布解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的
7、球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P规律方法求离散型随机变量的分布列的三个步骤：(1)找：找出随机变量X的所有可能取值xi(i1，2，n)，并确定Xxi的意义；(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(Xxi)pi(i1，2，n)；(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质2.(2015安徽省“江南十校”联考)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n8且nN*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出
8、的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；(2)当n12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为，则，化简得n225n1440，解得9n16，故n的最大值为16.(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为X012P_超几何分布_一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列解(1
9、)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，得到x5.故白球有5个(2)X服从超几何分布，其中N10，M5，n3，P(Xk)，k0，1，2，3.于是可得其分布列为X0123P在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列解：X服从超几何分布，其中N10，M5，n4，P(Xk)，k0，1，2，3，4，于是可得其分布列为X01234P规律方法超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上
10、是古典概型3.为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列解：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采
11、访该团3人，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人，1人持金卡，1人持银卡”，则P(B)P(A1)P(A2).所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.(2)的可能取值为0，1，2，3，且服从参数为N9，M6，n3的超几何分布，故P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为0123P交汇创新离散型随机变量的概率与平面向量的交汇(2013高考江西卷) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X
12、.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队 (1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28(种)，当X0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1，0，1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为X2101PE(X)(2)(1)01.名师点评离散型随机变量的概率与向量、不等式、方程等知识交汇是近年来命题的热点，解决本类问题的关键就是将向量、不等式或方程问题进行转化，使之成为解决离散型随机变量的概率问题的条件
13、1袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A5B9C10 D25解析：选B.X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B.C. D.解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p2p1，得p，故应选C.3设随机变量Y的分布列为Y123Pm则“Y”的概率为()A. B.C. D.解析：选C
14、.依题意知，m1，则m.故PP(Y2)P(Y3).4在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析：选C.X服从超几何分布，P(Xk)，故k4，故选C.5若随机变量的分布列为210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(x)0.8时，实数x的取值范围是()Ax2 B1x2C1x2 D1x2解析：选C.由随机变量的分布列知：P(1)0.1，P(0)0.3，P(1)0.5，P(2)0.8，则当P(x)0.8时，实数x的取值范围是1x2.6若P(x2)1
15、，P(x1)1，其中x1x2，则P(x1x2)等于_解析：由分布列性质可有：P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)11()答案：1()7若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2c38c则常数c_，P(X1)_解析：依分布列的性质知，解得c，故P(X1)38.答案：8在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为_解析：X的所有可能值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012P答案：X012P9.(2015长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)01
16、23频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列解：(1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件).(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X2)P(当天商品销售量为1件)；P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).所以X的分布列为X23P10.(2014高考重庆卷节选)一盒中装有9张各写有一
17、个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数字的中位数)解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X123P1在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从这10张券中任取2张(1)求该顾客中奖的概率；(
18、2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布解：(1)该顾客中奖的概率p11.(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60.P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60).故X的概率分布如下表所示：X010205060P2.2014年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步发展，国家旅游局把2014年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安为迎接今年旅游日的到来，某旅行社组织了14人参加“四川旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数3254根据上表信
19、息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，则P(A)，即3人答对题目个数之和为6的概率为.(2)依题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).从而X的分布列为X0123456P3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用表示终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量的概率分布；(3)求甲取到白球的概率解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知，所以n(n1)6，解得n3或n2(舍去)即袋中原有3个白球(2)由题意知的可能取值为1，2，3，4，5.P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5).所以取球次数的概率分布如下表所示：12345P(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球设“甲取到白球”的事件为A，则P(A)P(1或3或5)因为事件“1”“3”“5”两两互斥，所以P(A)P(1)P(3)P(5).