1、课时跟踪检测（八） 用空间向量研究空间角问题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为( )A30B150C30或150 D以上均不对解析：选A l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为090故选A.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为( )A BC D解析：选A设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，E(1,2,0)，F(1,0，2)，(1,2,0)，(1,0,2)，设平
2、面A1ECF的一个法向量n(x，y，z)，则即令x2，得y1，z1，所以平面A1ECF的一个法向量为n(2,1,1)，又A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为，则sin |cosn，|，cos ，tan .3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )A BC D解析：选D以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1,0,1)，M，D(0,0,0)，N，则，cos，0. ，.4正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与
3、平面PCD夹角的大小为( )A30 B45C60 D90解析：选B建系如图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)易知平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1，n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.此角的大小为45.5.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，则( )A1 BC D解析：选C不妨设BC1，AB，则.记a，b，c，则ba，cb，根据题意，|a|c|1
4、，|b|，abbcca0，b22，而|，|，|cos，|，得.故选C.6若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：由题意，得直线l与平面所成角的正弦值为.答案：7在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，_.解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：8已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为
5、_解析：由题意得(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由知令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n.因为平面xOy的一个法向量为(0,0,3)所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为.答案：9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面
6、BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1
7、D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.1.如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAA
8、DAC，点F为PC的中点，则平面PBC与平面BFD夹角的正切值为()A BC D解析：选D如图所示，设AC与BD交于O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BFD的一个法向量，由，可得平面PBC的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.2在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A BC D解析：选D不妨设ABBCPA2，OP底面ABC，PO.根据题意，
9、以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示则A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，P(1,1，)点O，D分别是AC，PC的中点，.又(0,2,0)，(1,1，)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即取n(，0,1)，cosn，sin (为OD与平面PBC所成的角)，故选D.3.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，DABABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD. 求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值解：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，S(0,0,1
10、)，C(1,1,0)，D，(1,1，1)设平面SCD的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，所以所以令z1，得n(2，1,1)因为是平面SAB的一个法向量，所以cos，n.所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为.4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则
11、A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.5.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)
12、证明：PCAD；(2)求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0，2)(1)证明：易得(0,1，2)，(2,0,0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1,2,1)又(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以平面PAC与平面PCD夹角的正弦值为.(3)易得(2，1,0)设AEh，h0,2，则E(0,0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.