1、 学生用书P141(单独成册)A基础达标1若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3，1)B(2，0，1)C(2，3，1) D(2，3，1)解析：选D.问题即求与n共线的一个向量即n(2，3，1)(2，3，1)2已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1) D(1，1，1)解析：选D.(1，1，0)，(1，0，1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)3若平面，的一个法向量分别为m，n，
2、则()ABC与相交但不垂直D或与重合解析：选D.因为n3m，所以mn，所以或与重合4已知平面内有一点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) BC. D解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1，0，1)，则n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除A；对于选项B，则n(3，1，2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.5如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12B11C31
3、D21解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.6已知平面的一个法向量a(x，1，2)，平面的一个法向量b，若，则xy_解析：因为，所以ab，所以xy10，得xy1.答案：17已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号)解析：2(1)(1)2(4)(1)2240，
4、则，则ABAP.4(1)2200，则，则APAD.又ABADA，所以AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量答案：8已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_解析：因为，所以0，所以352z0，所以z4.因为(x1，y，3)，且平面ABC，所以即解得故.答案：9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别为A1C1和BC的中点求证：(1)平面ABE平面B1BCC1；(2)C1F平面ABE.证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BCa，ABb，BB1c，则B
5、(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E.(1)(0，b，0)，.设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则y0，z，即n.又平面B1BCC1的一个法向量为n1(0，1，0)因为n1n200100，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)，且n0，所以平面ABE.又因为C1F平面ABE.所以C1F平面ABE.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别
6、为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.所以(1，1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.因为，所以x0，即xyz0.又因为，可设，所以x，y，z1.由可知，x，y，z，所以.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的法向量，则有即所以取z11，则n1(1，1，1)因为(1，0，1)，所以PAn10.又因为PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，则有即所以取z21，则n2(1，1，1)所以n2，所以PB平面EFD.B能力提升1
7、1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直 D不能确定解析：选B.建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以(1，0，1)又平面BB1C1C的一个法向量为n(0，1，0)，因为n1001100，所以n，又因为MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.故选B.12如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点求证：平面B1EF平面BDD1B1.
8、证明：由题意得，DA，DC，DD1两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(，2，0)，则(0，4)，(，0)设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)，则ny4z0，nxy0，得xy，zy，令y1，得n.又平面BDD1B1的一个法向量为(2，2，0)，而n1(2)1200，即n，所以平面B1EF平面BDD1B1.13(选做题)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BBCD90，AB4，CD1
9、，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD 成30角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.证明：由题意得CB，CD，CP两两垂直，所以以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD 所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4.所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M.所以(0，1，2)，(2，3，0)，.(1)令n(x，y，z)为平面PAD的法向量，则即所以令y2，得n(，2，1)因为n2010，所以n，又CM平面PAD，所以CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2，1)，(，2，1)因为PBAB，所以BEPA.又因为(，2，1)(2，3，0)0.所以，所以BEDA，又因为PADAA，所以BE平面PAD，又因为BE平面PAB，所以平面PAB平面PAD.