1、3 函数的单调性(二)内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一.精确数学概念恰当等价转化熟练数形结合01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 函数的最大值、最小值函数 f(x)x21，xR 的图像如图所示，观察其图像回答下列问题(1)函数图像有最高点吗？提示：有(2)其最高点的坐标是多少？提示：(0,1)(3)对任意的自变量 xR，f(x)与 f(0)什么关系？提示：f(x)f(0)1.(4)观察函数 f(x)x21 的图
2、像，你能指出该函数的最小值吗？并说明理由提示：该函数的最小值为1.因为对任意的 x，都有 f(x)f(0)1.(5)不等式 x21 总成立吗？1 是不是函数 f(x)x2 的最小值？提示：不等式 x21 一定成立1 不是函数 f(x)x2 的最小值，因为不存在实数 x使 x21.知识梳理 函数的最大值、最小值最值类别 最大值最小值设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 xI，都有(2)存在 x0I，使得(1)对任意的 xI，都有(2)存在 x0I，使得结论M 是函数 yf(x)的最大值M 是函数 yf(x)的最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)
3、M思考：1.在最大(小)值定义中若把条件“存在 x0I，使得 f(x0)M”去掉，M 还是函数 yf(x)的最大(小)值吗？提示：若去掉“存在 x0I，使得 f(x0)M”这一条件，则 M 不一定是函数 yf(x)的最大(小)值如函数 f(x)x2，xR，对任意 xR，f(x)1，但1 不是该函数的最小值，也就是说“存在 x0I，使得 f(x0)M”这一条件说明 M 是函数 f(x)值域中的一个元素2函数的最值与值域、单调性之间有什么关系？提示：(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数 y1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数 f(x)在闭区间a，b上单调，
4、则 f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或 f(b)，最小值是 f(b)或 f(a)3函数最大值或最小值的几何意义是什么？提示：函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图像上看，函数的最大值或最小值是图像最高点或最低点的纵坐标自我检测1函数 f(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0 B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2解析：由图像可知，该函数的最小值为 f(2)，最大值为 f(1)2.答案：C2若定义在区间(0,3上的函数 yf(x)是减函数，则它的最大值()A是 f(0)B是 f(3)C0 D不存在解析：0(0,3，f(0)不是函数值
5、由题意知 f(3)f(x)f(0)，函数的最大值不存在答案：D3函数 f(x)2x1 在0,1上的最大值是 a，最小值是 b，则 ab_.解析：f(x)2x1 在0,1上单调递增，f(x)的最大值为 f(1)2113，即 a3，同理 b1，ab4.答案：4探究一 利用函数图像求函数的最值例 1 已知函数 y|x1|2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域思路分析 去绝对值 分段函数 作图 识图 结论.解析 y|x1|23x，x1，x1，x1，函数图像如图所示：由图像知，函数 y|x1|2 的最大值为 2，没有最小值所以其值域为(，2方法技巧 用图像法求函数 yf(x)的最值的步骤：(
6、1)画出函数 yf(x)的图像；(2)依据函数最值的几何意义，借助图像写出最值跟踪探究 1.已知函数 f(x)1x，0 x1，x，1x2.(1)画出 f(x)的图像；(2)利用图像找出该函数的最大值和最小值解析：(1)函数 f(x)的图像如图所示：(2)由图像可知 f(x)的最小值为 f(1)1，无最大值探究二 利用单调性求函数的最值例 2 已知函数 f(x)x1x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求 f(x)在2,4上的最值思路点拨 利用定义法证明单调性 借助1求2，4上的最值解析(1)证明：设任意两个 x1，x2(1，)，并且 x1x2.则 f(x1)f(x2)x1 1x1
7、x2 1x2(x1x2)1 1x1x2 x1x2x1x21x1x2.x2x11，x1x20，又x1x21，x1x210，故(x1x2)x1x21x1x20.即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(1，)内是增函数(2)由(1)可知 f(x)在2,4上是增函数，当 x2,4时，f(2)f(x)f(4)，又 f(2)21252，f(4)414174.f(x)在2,4上的最大值为174，最小值为52.延伸探究 在题设条件不变的情况下，求 f(x)在13，2 上的最值解析：设 x1，x213，1，并且 x1x2，同理可证 f(x1)f(x2)，即 f(x)在13，1 上是减函数结合例题可知，函数
8、f(x)在13，1 上单调递减，在(1,2上单调递增当 x1 时，f(x)取得最小值 f(1)2；又 f13 133103 f(2)52，f(x)在13，2 上的最大值是103，最小值为 2.方法技巧 单调性与最值的关系：(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)(3)若函数 f(x)在a，b上是增(减)函数，在b，c上是减(增)函数，则 f(x)在a，c上的最大(小)值是 f(b)，最小(大)值是 f(a)与 f(c)中较小(大)的一个
9、跟踪探究 2.已知函数 f(x)2x1(x0,2)，求其最大值和最小值解析：设 x1，x2 是区间0,2上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)2x112x212x21x11x11x212x2x1x11x21.由 0 x1x22，得 x2x10，(x11)(x21)0，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)故 f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数 f(x)2x1在区间0,2的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是 f(0)2，最大值是 f(2)23.探究三 函数最值的应用例 3 某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时
10、，可全部租出，当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思路点拨 读题 提取信息 建模 解模 实际问题解析(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，未租出的车辆数为3 6003 0005012，所以此时租出了 88 辆(2)设每辆车的月租金为 x 元，租赁公司的月收益为y100 x3 00050(x150)x3 0005050，整理得 yx250162x21 000
11、150(x4 050)2307 050.所以当 x4 050，即每辆车的租金为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307 050 元方法技巧 解函数应用题的一般程序是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；(5)反思回顾：对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性跟踪探究 3.如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方
12、向为 x 轴，竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度 h(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的函数关系式为 hx22x54x0，52.求水流喷出的高度 h 的最大值是多少？解析：由函数 hx22x54x0，52 的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点此时函数取得最大值对于函数 hx22x54x0，52，当 x1 时，函数有最大值 hmax12215494(m)于是水流喷出的最高高度是94 m.课后小结1对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数 yx2(xR)的最小值是 0，有 f(0)0.(2)最大(小)值定义中的“任意”
13、是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)M(f(x)M)成立，也就是说，函数 yf(x)的图像不能位于直线 yM 的上(下)方(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说 yf(x)的图像与直线 yM 至少有一个交点2函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值3利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则 f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值
14、和最大(小)值(2)如果函数 f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最大值 f(b)(3)如果函数 f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最小值 f(b)素养培优不能及时转化形式而使思维受阻易错案例：某厂准备投资 100 万生产 A，B 两种新产品，据测算，投资后的年收益，A产品是总投入的 1/5，B 产品则是总投入开平方后的 2 倍问应该怎样分配投入数，使这两种产品的年总收益最大？易错分析：在本题的解答过程中，常想不到令投入 B 产品 w 万元中的 wx，转化成二次函数最值问题而出现思维受阻，考查等价转化、数学运算的学科素养自我纠正：设投入 B 产品为 w 万元，那么投入 A 产品应为(100w)万元，设投入后年总收益为 y 万元，则有 y15(100w)2 w.设 wx2(x0)，则 y15(100 x2)2x15x22x20，(x0,10)此函数 a150，开口向下，x b2a5 时取到最大值 25，对应的 w5225.由此可知，如投入 A 产品 75 万元，B 产品 25 万元时，有年最高收益 25 万元.04 课时 跟踪训练
