1、第二章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60,a=1,b=2,则sin A=()A.32B.14C.34D.12解析:由正弦定理得1sinA=2sin60,得sinA=34.故选C.答案:C2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23解析:a2+c2-b2=3ac,由余弦定理得,cosB=a2+c2-b22ac=32,B=6.答案:A3.在ABC中,已知a=11,b=20,A=1
2、30,则此三角形()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定解析:由A=130,而ab,可知无解.答案:A4.在ABC中,A=60,AC=16,ABC的面积为2203,那么BC的长度为()A.25B.51C.493D.49解析:由SABC=12ABACsin60=43AB=2203,得AB=55.再由余弦定理,得BC2=162+552-21655cos60=2401,解得BC=49.答案:D5.平行四边形ABCD中,对角线AC=65,BD=17,周长为18,则这个平行四边形的面积是()A.16B.352C.18D.32解析:设AB=CD=a,AD=BC=b,则2(a+b)=18,65+
3、17=2(a2+b2),解得a=4,b=5或a=5,b=4,cosBAD=52+42-17254=35,sinBAD=45,S=4545=16.答案:A6.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3.则SABC=()A.2B.3C.32D.2解析:A,B,C成等差数列,A+C=2B.又A+B+C=180,B=60.又a=1,b=3,由asinA=bsinB得sinA=asinBb=3213=12.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos120,所以b2+ab-a2=0,即ba2
4、+ba-1=0,ba=-1+521,故b0,cosB0,cosC0,即a2+b2-c22ab0,a2+c2-b22ac0,b2+c2-a22bc0.将a=2,b=3代入,解得5c13.答案:(5,13).15.在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(3,S)满足pq,则C=.解析:由pq,得4S=3(a2+b2-c2),则S=34(a2+b2-c2).由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab,故S=342abcosC=32abcosC.又由正弦定理得S=12absinC,所以32abcosC=12absinC,所以t
5、anC=3.又C(0,),所以C=3.答案:3三、解答题(本大题共4小题,共30分)16.(本小题满分7分)在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cosA=234=32.又a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+2012b=34,b=4或b=5.当b=4时,a=4,A=B.由C=2A,A=4,这与cosA=34矛盾,应舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.17.(本小题满分7分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大
6、小;(2)求sin B+3的值.解:(1)由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=32+52-72235=-12.0C0.(1)求A.(2)若cos(A-C)+cos B=32,a=6,求ABC的面积.解:(1)3b=2asinB,由正弦定理知3sinB=2sinAsinB.sinB0,从而sinA=32.又ABAC0,A=60.(2)将B=-(A+C)代入cos(A-C)+cosB=32,得cos(A-C)-cos(A+C)=32,展开得sinAsinC=34.又sinA=32,sinC=12,即C=30,B=90.由正弦定理asinA=csinC,得c=23.SABC=12acsi
7、nB=126231=63.19.(本小题满分8分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45,点B北偏西60的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60且与点B相距203海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?解:由题意,知AB=5(3+3)海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,ADB=180-(45+30)=105.在ADB中,由正弦定理,得DBsinDAB=ABsinADB,DB=ABsinDABsinADB=5(3+3)sin45sin105=5(3+3)sin45sin45cos60+cos45sin60=103(海里).在CDB中,BC=203(海里),BD=103(海里),DBC=60.由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=(103)2+(203)2-2103203cos60=900.DC=30(海里).故救援船到达点D需要的时间为3030=1(时).