1、第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题一、选择题1(2015广州模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3 B4 C5 D15解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案D2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为()A.B.C.D.解析由已知
2、可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案D3(2015济南模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A(1，2) B(1，2C(1，) D(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B4在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是()A(0，1) B(0，2) C(2，
3、0) D(1，0)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1；同理，在点B处的切线方程为yx2xy2.又点Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2)答案B5(2014湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C3 D2解析设|PF1|r1，|PF2|r
4、2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，即的最大值为.答案A二、填空题6(2015平顶山模拟)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，得1e2.答案(1，27(2015青岛模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，
5、则k1k2的值为_解析由e21，得，设M(x，y)，A(m，n)，B(m，n)，则k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案8抛物线y28x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(2，0)，则的最大值为_解析由点P(x，y)在抛物线y28x上，得y28x(x0)由抛物线的定义可得|PF|x2，又|PA|，所以.当x0时，1；当x0时，因为x24，当且仅当x，即x2时取等号，故x48，01，所以(1，综上，1，所以的最大值为.答案三、解答题9(2015济南实验中学模拟)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为.过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两
6、点，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点(1)解易知b1，e得a22c22a22b2，故a22.故方程为y21.(2)解设l：yk(x2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(12k2)x28k2x8k220.由0得0k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2k2(x12)(x22)(1k2)x1x22k2(x1x2)4k250k2，7，故所求范围是.(3)证明由对称性可知N(x2，y2)，定点在x轴上直线AN：yy1(xx1)，令y0得：xx11，直线AN过定点(1，0)10
7、已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，)，又点A(1，)在椭圆M上(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求ABC面积的最大值解(1)由已知椭圆的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1，将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)0，可得m28，由x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|又点A到BC的距离为d.故SABC|BC|d.当且仅当2m2162
8、m2，即m2时取等号(满足式)，所以ABC面积的最大值为.11(2015天津卷)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.