1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解学 习 任 务核 心 素 养1理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点)1借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养2借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？知识点1函数的零点(1)函数的零点对于函数yf(
2、x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点1.函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示不是函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标(2)方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与x轴有公共点函数yf(x)有零点1.函数y2x1的零点是()ABCD2A由2x10得x.2.下列各图象表示的函数中没有零点的是() AB CDD结合函数零点的定义可知选项D没有零点知识点2函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)
3、，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解(1)定理要求具备两个条件：函数在区间a，b上的图象是连续不断的；f(a)f(b)0.两个条件缺一不可(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数2.函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点()(2)若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0，即3a
4、b0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函
5、数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6. 类型2零点个数的判断【例2】(对接教材P143例题)判断下列函数零点的个数：(1)f(x)(x24)log2x；(2)f(x)x2；(3)f(x)2xlg(x1)2.解(1)令f(x)0，得(x24)log2x0，因此x240或log2x0，解得x2或x1.又因为函数定义域为(0，)，所以x2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点(2)法一：令f(x)x20，得x2，即x31，解得x1，故函数f(x)x2只有一个零点法二：令f(x)x20，得x2，设g
6、(x)x2(x0)，h(x)，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示由图象可知，两个函数图象只有一个交点，故函数只有一个零点(3)法一：f(0)10210，f(x)0在(0,2)上必定存在实根又f(x)2xlg(x1)2在区间(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点法二：令h(x)22x，g(x)lg(x1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示由图象知g(x)lg(x1)和h(x)22x的图象有且只有一个公共点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点判断函数零点个数的常用方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程f(x)0解的个数就是函数f
7、(x)零点的个数(2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数(3)f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1g(x)和y2h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数yf(x)零点的个数2已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A1B2C3D4B函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)
8、的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2. 类型3判断函数零点所在的区间【例3】(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(3,4)B(2，e) C(1,2)D(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A(1,0)B(0,1) C(1,2)D(2,3)结合零点存在性定理思考怎样判定函数在区间(a，b)内存在零点？(1)C(2)C(1)因为f(1)ln 20，且
9、函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.630，f(0)1320，f(1)2.7241.280，f(3)20.08614.080，f(1)f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点3若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能
10、是()A2B0 C1D3Af(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.1函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B，1C，1D，1B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2函数f(x)2x3的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Bf(1)2310，f(1)f(2)0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)3对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一
11、定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解D函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但方程f(x)0在(1,3)上可能无实数解4二次函数yax2bxc中，ac0得二次函数yax2bxc有两个零点5若函数f(x)a的零点是1，则实数a_.由f(1)a0得a.回顾本节知识，自我完成以下问题：1函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？提示函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2函数零点存在定理满足的条件有哪些？提示定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.3探求函数零点个数的方式有哪些？提示直接解方程法；图象交点个数法；定理法高考资源网版权所有，侵权必究！