1、2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1设命题P：xR，x2+20则P为（）ABCDxR，x2+202等差数列an前n项和为Sn，公差d=2，S3=21，则a1的值为（）A10B9C6D53“”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D不充分也不必要条件4关于函数f（x）=x33x2+6x的单调性是（）A增函数B先增后减C先减后增D减函数5在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1B2C3D46若双曲线的一条渐近线经过点（3，4
2、），则此双曲线的离心率为（）ABCD7若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lgalgb的最大值是（）A0B1C2D8已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a的值是（）A4B2C2D49已知数列an：a1=1，则an=（）A2n+13B2n1C2n+1D2n+2710已知直线2ax+by2=0（a0，b0）过点（1，2），则的最小值是（）A2B3C4D111设x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A2B3C4D512在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD二、填空题若ABC中，AC=，A=45，C=75，则BC=14已知数列
3、an的前n项和Sn=3+2n，则数列an的通项公式为15函数的单调增区间为16设不等式（xa）（x+a2）0的解集为N，若xN是的必要条件，则a的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知正项数列an的前n项的和为Sn，且满足：，（nN+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列an的通项公式18（12分）如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，求此抛物线的方程19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2ac
4、）cosB（）求角B的大小；（）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求ABC的面积20（12分）已知递增的等比数列an满足：a2a3=8，a1+a4=9（1）求数列an的通项公式；（2）设数列，求数列bn的前n项的和Tn21（12分）已知椭圆C： =1（ab0）经过点，且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围22（12分）已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，常数a0（1）当x=1时，函数f（x）取得极小值2，求函数f（x）的极大值（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）
5、处的切线方程为l：y=g（x），当xx0时，若在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优点”，若点（1，f（1）是函数f（x）的“类优点”，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程求实数a的取值范围2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1设命题P：xR，x2+20则P为（）ABCDxR，x2+20【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即P：，故选：B【点评】本题
6、主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2等差数列an前n项和为Sn，公差d=2，S3=21，则a1的值为（）A10B9C6D5【考点】等差数列的前n项和【分析】直接运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求值【解答】解：公差d=2，S3=21，可得3a1+32（2）=21，解得a1=9，故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题3“”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当+2k时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，
7、即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键4关于函数f（x）=x33x2+6x的单调性是（）A增函数B先增后减C先减后增D减函数【考点】函数的单调性及单调区间【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可【解答】解：函数的导数为f（x）=3x26x+6=3（x22x+2）=3（x1）2+30恒成立，即函数f（x）在定义域上为增函数，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键5在ABC中，若AB=，BC=3，C=12
8、0，则AC=（）A1B2C3D4【考点】余弦定理的应用【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=4（舍去）故选：A【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力6若双曲线的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的一条渐近线经过点（3，4），可得b=a，c=a，即可得到双曲线的离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线经过点（3，4），b=a，c=a，可得e=故选：D【点评】本题考查双曲线的离
9、心率的求法，注意运用双曲线的性质，主要是渐近线方程和离心率，考查运算能力，属于基础题7若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lgalgb的最大值是（）A0B1C2D【考点】基本不等式【分析】先根据a1，b1判断lga、lgb的符号，再由基本不等式可求得最小值【解答】解：a1，b1，lga0，lgb0lgalgb（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lgalgb的最大值是1故选B【点评】本题主要考查基本不等式的应用在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求8已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a的值是（）A4B2C2D4【考点】利用导数研究函数的极值【分
10、析】可求导数得到f（x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值【解答】解：f（x）=3x212；x2时，f（x）0，2x2时，f（x）0，x2时，f（x）0；x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；a=2故选：C【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象9已知数列an：a1=1，则an=（）A2n+13B2n1C2n+1D2n+27【考点】数列递推式【分析】由已知数列递推式可得数列an+3是以4为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案【解答】解：由，得an+1+3=2（an
11、+3），a1+3=40，数列an+3是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，故选：A【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题10已知直线2ax+by2=0（a0，b0）过点（1，2），则的最小值是（）A2B3C4D1【考点】基本不等式【分析】根据直线过点（1，2），求出a，b的关系利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：直线2ax+by2=0（a0，b0）过点（1，2），可得：2a+2b=2，即a+b=1则=（）（a+b）=2+=4当且仅当a=b=时取等号的最小值为4故选C【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题11
12、设x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x2y，得z=3目标函数z=x2y的最大值是3故选：B【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法12在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD【考
13、点】正弦定理【分析】在锐角ABC中，利用sinA=，SABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值【解答】解：在锐角ABC中，sinA=，SABC=，bcsinA=bc=，bc=3，又a=2，A是锐角，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，b+c=2由得：，解得b=c=故选A【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题二、填空题（2016秋深圳期末）若ABC中，AC=，A=45，C=75，则BC=【考点】正弦定理【分析】由已知利用三角形内角
14、和定理可求B，进而利用正弦定理即可解得BC的值【解答】解：AC=，A=45，C=75，B=180AC=60，由正弦定理，可得：BC=故答案为：【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14已知数列an的前n项和Sn=3+2n，则数列an的通项公式为【考点】数列的概念及简单表示法【分析】当n=1时，直接由前n项和求首项，当n大于等于2时，由an=SnSn1求解【解答】解：由Sn=3+2n，当n=1时，a1=S1=5当n2时，所以故答案为【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由前n项和求通项，注意分类讨论，是基础题15函数的单调增区间为
15、【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由解析式求出定义域和f（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；【解答】解：由f（x）=klnx得，函数的定义域是（0，+），f（x）=x=，当k0时，由f（x）=0得x=或x=（舍去），当x时，f（x）0，当0x时，令f（x）0，所以f（x）的递减区间是（0，），递增区间是（，+）；故答案为：（，+）【点评】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可16设不等式（xa）（x+a2）0的解集为N，若xN是的必要条件，则a的取值范围为【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式
16、的解法【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合一元二次不等式的解法建立不等式关系进行求解即可【解答】解：若xN是的必要条件，则MN，若a=1时，不等式（xa）（x+a2）0的解集N=，此时不满足条件若a1，则N=（a，2a），则满足，得，此时a，若a1，则N=（2a，a），则满足，得，此时a，综上，故答案为：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键注意要对a进行分类讨论三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）（2016秋深圳期末）已知正项数列an的前n项的和为Sn，且满足：，（nN+）（1）求
17、a1，a2，a3的值（2）求数列an的通项公式【考点】数列递推式【分析】（1）分别在已知数列递推式中取n=1、2、3，结合an0求得a1，a2，a3的值；（2）由+an，得，两式作差后，可得an是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案【解答】解：（1）由，取n=1，得，an0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）+an，得 （an+1+an）（an+1an1）=0，an0，an+1+an0，则an+1an=1，an是首项为1，公差为1的等差数列，an=1+（n1）1=n【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公
18、式的求法，是中档题18（12分）（2016秋深圳期末）如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，求此抛物线的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】根据过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得NCB=30，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，可求得p的值，即求得抛物线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过焦点F（，0）的直线
19、l设为y=k（x），代入抛物线方程，可得k2x2p（k2+2）x+=0，x1x2=k不存在，上式显然成立作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，NCB=30，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，（3）（1）=，解得p=即有抛物线的标准方程为y2=3x【点评】此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算19（12分）（2015济南二模）在ABC中，角A，B，C的对边分
20、别为a，b，c，且bcosC=（2ac）cosB（）求角B的大小；（）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求ABC的面积【考点】正弦定理；等差数列的通项公式【分析】（）由正弦定理可得sinBcosC=（2sinAsinC）cosB，由三角函数恒等变换化简可得sinA=2sinAcosB，由sinA0，可求cosB，结合B的范围即可得解（）由题意a+c=2b=6，由余弦定理可求ac，从而由三角形面积公式即可得解【解答】（本题满足12分）解：（）由题意可得：sinBcosC=（2sinAsinC）cosBsinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin（B+C）=2sinAcosBs
21、inA=2sinAcosB，因为0A，sinA0，所以cosB=，因为0B，所以B=6分（）由题意a+c=2b=6又32=a2+b22accos，可得ac=9，SABC=acsinB=12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换，属于基本知识的考查20（12分）（2016秋深圳期末）已知递增的等比数列an满足：a2a3=8，a1+a4=9（1）求数列an的通项公式；（2）设数列，求数列bn的前n项的和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等比数列的性质得到a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，由此求得首项和公比；根据等比数列的通项公式求得a
22、n=2n1；（2）利用“错位相减法求和法”进行解答即可【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或 a1=8，a4=1，由an是递增的等比数列，知q1所以a1=1，a4=8，且q=2，即an=2n1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）（2016秋深圳期末）已知椭圆C： =1（ab0）经过点，且离心率为（）求椭圆C的方程；（）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P
23、（0，m），求m的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由椭圆C： =1（ab0）经过点，且离心率为，可得，又a2=b2+c2，联立解得即可（II）当直线MNx轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得m=0当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k0），与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+8k2x+8k28=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得（x0，y0），可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出【解答】解：（I）椭圆C： =1（ab0）经过点，且离心率为，又a2=b2+c2
24、，联立解得b=c=2，a2=8椭圆C的方程为（II）当直线MNx轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，m=0当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k0），联立，化为（1+2k2）x2+8k2x+8k28=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），则x1+x2=，x0=，y0=k（x0+2）=，线段MN的垂直平行线的方程为=，令x=0，可得m=y=，当k0时，m，当且仅当k=时取等号；当k0时，m，当且仅当k=时取等号综上可得：m的取值范围是【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标
25、公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）（2016秋深圳期末）已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，常数a0（1）当x=1时，函数f（x）取得极小值2，求函数f（x）的极大值（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当xx0时，若在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优点”，若点（1，f（1）是函数f（x）的“类优点”，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数
26、的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（2）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；结合题意得到F（x）=f（x）g（x）=x2（a+2）x+alnx+a+1，通过讨论a的范围得到函数的单调性，进而确定a的范围即可【解答】解：（1）由题意，f（1）=1（a+2）=2，得a=1，此时，（x0）（2分）令f（x）=0，得x=1或当时，f（x）0； 当时，f（x）0所以f（x）在与（1，+）上单调递增，在上递减所以当时，f（x）有极大值（2），（x0）f（1）=1（a+2）=a1，f（1）=0所以函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为g（x）=a1（6分
27、）若点（1，f（1）是函数f（x）的“类优点”，令F（x）=f（x）g（x）=x2（a+2）x+alnx+a+1常数a0，又F（1）=0，且，（x0）令F（x）=0，得x=1或，a0（8分）则当a=2时，F（x）0，F（x）在（0，+）上递增当x（0，1）时，F（x）F（1）=0； 当x（1，+）时，F（x）F（1）=0故当x1时，恒有成立（9分）当a2时，由F（x）0，得，F（x）在上递减，F（x）F（1）=0所以在，不成立（10分）当0a2时，由F（x）0，得，F（x）在上递减，F（x）F（1）=0所以在，不成立（11分）综上可知，若点（1，f（1）是函数f（x）的“类优点”，则实数a=2（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查新定义的理解，是一道中档题