1、2014-2015学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求1求值sin210=（） A B C D 2已知角的终边上一点P（1，），则sin=（） A B C D 3函数f（x）=xsin（+x）是（） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数4如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（） A 92 B 93 C 93.5 D 945
2、已知向量=（4，2），=（x，3），若，则实数x的值为（） A 3 B 6 C D 6如图所示的程序框图，若输出的S是62，则可以为（） A n3？ B n4？ C n5？ D n6？7已知向量=（1，1），=（2，3），若k2与垂直，则实数k的值为（） A 1 B 1 C 2 D 28若，则tantan=（） A B C D 9设非零向量，满足+=，且=，则向量与的夹角为（） A B C D 10甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3，4，5，6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们
3、“心有灵犀”的概率为（） A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11已知向量=（2，2），=（3，4），则=12已知sin（+）=，则cos2=13某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是14在区间1，1内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2axb2+1有零点的概率为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤15（12分）（2015春深圳期末）已知tan=2（1
4、）求tan2的值；（2）求sin2+sin cos2cos2的值16（12分）（2015春深圳期末）已知cos（+）=，（1）求sin（+）的值；（2）求cos（2+）的值17（14分）（2015春深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：xi2=280，xiyi=3487，=，=（）求，；（）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？18（14分）（2015春深圳期末）已知函数f（x）=2
5、sin（x+）（0，02）的部分图象如图所示（）求f（x）的表达式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）若x0，求f（x）的值域19（14分）（2015春抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均
6、生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出22列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=20（14分）（2015春深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），xR，函数f（x）=cosAOB（）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（）在（）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+）sin（）
7、+时，求OAB的面积；（）在（）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0t）若h（x）是偶函数，求t的值2014-2015学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求1求值sin210=（） A B C D 考点： 运用诱导公式化简求值 分析： 通过诱导公式得sin 210=sin（210180）=sin30得出答案解答： 解：sin 210=sin（210180）=sin30=故答案为D点评： 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用可以根据角的象限判断正负2已知角的
8、终边上一点P（1，），则sin=（） A B C D 考点： 任意角的三角函数的定义 专题： 三角函数的求值分析： 根据三角函数的定义进行求解即可解答： 解：角的终边上一点P（1，），则r=|0P|=2，则sin=，故选：A点评： 本题主要考查三角函数的定义，比较基础3函数f（x）=xsin（+x）是（） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数考点： 正弦函数的奇偶性；运用诱导公式化简求值 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析： 运用诱导公式化简解析式可得f（x）=xcosx，由f（x）=（x）cos（x）=xcosx=f（x），即可得函数f（x）=x
9、sin（+x）是奇函数解答： 解：f（x）=xsin（+x）=xcosx，又f（x）=（x）cos（x）=xcosx=f（x），函数f（x）=xsin（+x）是奇函数故选：A点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值，正弦函数的奇偶性等知识的应用，属于基本知识的考查4如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组数学成绩的中位数为（） A 92 B 93 C 93.5 D 94考点： 众数、中位数、平均数 专题： 计算题；概率与统计分析： 先根据甲、乙两组的平均分相同，求出
10、的值，再求乙组的中位数即可解答： 解：甲、乙两个小组的平均分相同，=2乙组数学成绩的中位数为=93故选：B点评： 本题考查了求平均数与中位数的应用问题，是基础题目5已知向量=（4，2），=（x，3），若，则实数x的值为（） A 3 B 6 C D 考点： 平行向量与共线向量 专题： 平面向量及应用分析： 利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可解答： 解：向量=（4，2），=（x，3），若，可得12=2x，解得x=6故选：B点评： 本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查6如图所示的程序框图，若输出的S是62，则可以为（） A n3？ B n4？ C n5？ D n6？考点： 程序框图 专题
11、： 算法和程序框图分析： 根据程序框图进行模拟计算即可得到结论解答： 解：第一次，n=1，S=0，满足条件S=0+21=2，n=2，第二次，n=2，S=2，满足条件S=2+22=6，n=3，第三次，n=3，S=6，满足条件S=6+23=14，n=4，第四次，n=4，S=14，满足条件S=14+24=30，n=5，第五次，n=5，S=30，满足条件S=30+25=62，n=6，第六次，n=6，S=62，不满足条件输出S=62，则可以为n5？，故选：C点评： 本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键7已知向量=（1，1），=（2，3），若k2与垂直，则实数k的值为（）
12、 A 1 B 1 C 2 D 2考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题： 平面向量及应用分析： 利用已知条件表示k2，通过向量互相垂直数量积为0，列出方程解得k解答： 解：向量=（1，1），=（2，3），k2=k（1，1）2（2，3）=（k4，k+6）k2与垂直，（k2）=k4+k+6=0，解得k=1故选：A点评： 本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题8若，则tantan=（） A B C D 考点： 两角和与差的正弦函数；弦切互化 专题： 计算题分析： 利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinsin与coscos的关系，然后求出tantan解答： 解：因为，所以
13、；故选D点评： 本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题9设非零向量，满足+=，且=，则向量与的夹角为（） A B C D 考点： 数量积表示两个向量的夹角 专题： 平面向量及应用分析： 把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值，可得夹角解答： 解：由题意可得=（+）2，|2=|2+|2+2|cos，其中为向量与的夹角，=，cos=，向量与的夹角为故选：D点评： 本题考查平面向量的夹角，属基础题10甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3，4，5，6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”
14、现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A B C D 考点： 古典概型及其概率计算公式 专题： 新定义分析： 本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|ab|1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有66=36种猜字结果，其中满足|ab|1的有如下情形：若a=1，则b=1，2；若a=2，则b=1，2，3；若a=3，则b=2，3，4；若a=4，则b=3，4，5；若a=5，则b=4，5，6；若a=6，则b=
15、5，6，总共16种，他们“心有灵犀”的概率为故选D点评： 本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11已知向量=（2，2），=（3，4），则=2考点： 平面向量数量积的运算 专题： 平面向量及应用分析： 利用平面向量的数量积的坐标表示解答解答： 解：由已知得到=2（3）+24=6+8=2；故答案为：2点评： 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则=xm+yn12已知sin（+）=，则cos2=考点： 二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 专题： 三角函数的求值分析：
16、 由诱导公式可求sin，利用二倍角的余弦函数公式即可求值解答： 解：sin（+）=sin=，sin，cos2=12sin2=12=故答案为：点评： 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查13某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37考点： 系统抽样方法 专题： 应用题分析： 由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码
17、为32，第8组抽出的号码为37解答： 解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37故答案为：37点评： 本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目14在区间1，1内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2axb2+1有零点的概率为1考点： 几何概型 专题： 概率与统计分析： 设区间1，1内随机取两个数分别记为（a，b），对应区域为边长为2的正方形，而使得函数f（x）=x2+2axb2+1有零点
18、的a，b范围是判别式0，求出a，b满足范围，利用面积比求概率解答： 解：设区间1，1内随机取两个数分别记为（a，b），则对应区域面积为22=4，使得函数f（x）=x2+2axb2+1有零点a，b范围为4a2+4b240，即a2+b21，对应区域面积为4，由几何概型的概率公式得到使得函数f（x）=x2+2axb2+1有零点的概率为：；故答案为：1点评： 本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的区域面积，利用公式解答三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤15（12分）（2015春深圳期末）已知tan=2（1）求tan2的值；（2）求sin2+sin cos2cos
19、2的值考点： 三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系 专题： 三角函数的求值分析： （1）利用二倍角的正切函数求解即可（2）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可解答： 解：tan=2（1）tan2=；（2）sin2+sin cos2cos2=点评： 本题考查三角函数的化简求值，二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力16（12分）（2015春深圳期末）已知cos（+）=，（1）求sin（+）的值；（2）求cos（2+）的值考点： 两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦 专题： 计算题；三角函数的求值分析： （1）由可得+，根据cos（+）=0，可得+，利用同角
20、三角函数关系式即可求sin（+）（2）由（1）可得，从而可求sin，cos，sin2，cos2的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos（2+）的值解答： 解：（1）可得+，cos（+）=0，+，sin（+）=（2）由（1）可得+，sin=sin（+）=（）=，cos=cos（+）=（）=，sin2=2sincos=2=，cos2=2cos21=，cos（2+）=（）=点评： 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查17（14分）（2015春深圳期末）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这件服装件数x之间的
21、一组数据关系如表所示：x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知：xi2=280，xiyi=3487，=，=（）求，；（）若纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程；（）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？考点： 线性回归方程 专题： 应用题；概率与统计分析： （）利用平均数公式，可求，；（）求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值；（）由回归直线方程预测，只需将x=20代入求解即可解答： 解：（）=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（66+69+73+81+89+90+91）=80，（）x
22、i2=280，xiyi=3487，b=，a=，回归方程为y=x+，（）当x=20时，y175，故该周内某天的销售量为20件，估计这天可获纯利大约为175元点评： 本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式18（14分）（2015春深圳期末）已知函数f（x）=2sin（x+）（0，02）的部分图象如图所示（）求f（x）的表达式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）若x0，求f（x）的值域考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题： 三角函数的图像与性质分析： （）由函数图象可得T，由周期公式从而可求，由点（，0）在函数图象上
23、，结合范围02，即可解得的值，从而得解；（）当f（x）=2sin（3x+）时，由2k3x+2k，kZ可解得函数f（x）的单调递减区当f（x）=2sin（3x+）时由2k3x+2k，kZ可解得函数f（x）的单调递减区间（）当f（x）=2sin（3x+）时，由x0，可得3x+，从而可求；当f（x）=2sin（3x+）时，由x0，可得3x+，2，从而可求f（x）的值域解答： 解：（）由函数图象可得：T=（）=，解得：T=，从而可求=3，由点（，0）在函数图象上，所以：2sin（3+）=0，解得：=k，kZ，由02，从而可得：=或故可得：f（x）=2sin（3x+）或f（x）=2sin（3x+）（）当
24、f（x）=2sin（3x+）时，由2k3x+2k，kZ可解得函数f（x）的单调递减区间为：，kZ，当f（x）=2sin（3x+）时由2k3x+2k，kZ可解得函数f（x）的单调递减区间为：，kZ，（）当f（x）=2sin（3x+）时，x0，3x+，可得：f（x）=2sin（3x+）0，2当f（x）=2sin（3x+）时，x0，3x+，2，可得：f（x）=2sin（3x+）2，点评： 本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查19（14分）（2015春抚顺期末）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名为
25、研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出22列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2
26、k） 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=考点： 独立性检验的应用 专题： 应用题；概率与统计分析： （1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得22列联表，可得k21.79，由1.792.706，可得结论解答： 解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100
27、=60名，25周岁以下组工人100=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.05=3（人），25周岁以下组工人有400.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有600.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有400.375=15（人），据此可得22列联表如下： 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70
28、 100所以可得K2=1.79，因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”点评： 本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题20（14分）（2015春深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），xR，函数f（x）=cosAOB（）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（）在（）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+）sin（）+时，求OAB的面积；（）在（）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0t）若h（x）是偶函数，求t的值考点： 两角和与差的正弦函数；平面
29、向量数量积的运算 专题： 三角函数的求值分析： （1）由题意可得f（x）=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=k+，结合t的范围可得t值解答： 解：（1）由题意可得f（x）=cosAOB=a（1+sin2x）+cos2x图象经过点（，2），a（1+sin）+cos=2a=2，a=1；（2）sin2x=sin（+）sin（）+，sin2x=sin（+）cos（+）+=sin（+2）+=cos2+=，x为锐角，x=，=（1，0），=（2，1），cosAOB=，sinAOB=，OAB的面积S=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），h（x）是偶函数，2t+=k+，t=+，kZ，又0t，t=或点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题