1、3 函数的单调性(一)内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数单调区间、单调性等概念2.会划分函数的单调区间，判断单调性3.会用定义证明函数的单调性.精确数学概念提高逻辑推理增强直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 增函数和减函数预习教材P3638，思考并完成以下问题如图，观察函数 yx2 的图像，回答下列问题：(1)当 x0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而发生什么变化？提示：增大(2)如果在 y 轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当 x1x2 时，y1，y2 的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点
2、都有这个规律呢？提示：y1y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律如41，但(4)212.(3)如何用数学符号语言来描述 y 轴右侧的图像变化规律？提示：在区间(0，)上，任取两个 x1，x2，得到 f(x1)x21，f(x2)x22，当 x1x2时，有 f(x1)f(x2)知识梳理 增函数和减函数增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)定义那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数区间 D 称为函数 f(x)的单调递增区间那么就说函数 f(x)在区
3、间 D 上是减函数区间 D 称为函数 f(x)的单调递减区间任意增函数减函数图像特征函数 f(x)在区间 D 上的图像是的函数 f(x)在区间 D 上的图像是的图示上升下降知识点二 函数的单调区间与单调性思考并完成以下问题(1)若函数 f(x)在定义域内的两个区间 D1，D2上都是减函数，那么 f(x)的减区间能写成D1D2吗？提示：单调区间不能取并集，如 y1x在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说 y1x在(，0)(0，)上递减(2)任何函数在定义域上都具有单调性吗？提示：函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有
4、的函数不具有单调性，例如：函数y1，x是有理数，0，x是无理数；再如：函数 yx1(xZ)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性知识梳理 函数的单调区间与单调性(1)如果 yf(x)在区间 A 上是增加的或减少的，那么称 A 为(2)定义：如果函数 yf(x)在定义域的某个子集上是或，那么就称 yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数 yf(x)在是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数单调区间增加的减少的整个定义域内思考：1.把增(减)函数定义中的“任意两个自变量 x1，x2”换成“存在两个自变量 x1，x2”还能判断函数是增(减)函数吗？提示：不
5、能如在函数 yx2中32，且 f(3)f(2)，但 yx2 在3,2上不是减函数2把增(减)函数定义中的“某个区间 D”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？提示：不能如 y1x，其定义域为(，0)(0，)，当 x1(，0)，x2(0，)时，尽管 x1x2，f(x1)f(x2)，但 y1x不是增函数自我检测1下列说法正确的是()A定义在(a，b)上的函数 f(x)，若存在 x1x2 时，有 f(x1)f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数 f(x)，若有无穷多对 x1，x2(a，b)使得 x1x2 时，有 f(x1)f(x2)，那么 f(x)在(a，b)
6、上为增函数C若 f(x)在区间 I1 上为增函数，在区间 I2 上也为增函数，那么 f(x)在 I1I2 上也一定为增函数D若 f(x)在区间 I 上为增函数且 f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么 x1x2解析：A，B 项都忽略了 x1，x2 的任意性；C 项中 f(x)在 I1I2 上不一定为增函数；对于 D 项，由增函数的定义可知其正确答案：D2设 f(x)(2a1)xb 在 R 上是减函数，则有()Aa12Ba12 Ca12Da12解析：f(x)在 R 上是减函数，故 2a10，即 a12.答案：D3函数 y|x|的增区间是_，减区间是_解析：函数 y|x|的图像如图所示：由图可
7、知，该函数的增区间为0，)，减区间为(，0)答案：0，)(，0)探究一 利用图像确定函数单调区间例 1 求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数(1)y3x2；(2)y1x；(3)yx22x3.思路点拨 画出函数的草图 结合图像“升降”给出单调区间解析(1)函数 y3x2 的单调区间为 R，其在 R 上是增函数(2)函数 y1x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)及(0，)上均为增函数(3)函数 yx22x3 的对称轴为 x1，并且开口向下，其单调增区间为(，1，单调减区间为(1，)，其在(，1上是增函数，在(1，)上是减函数延伸探究 把(3)变成“yx22|x|3”
8、先画出图像，再指明其单调区间，并写出它的值域解析：去掉绝对值符号，把函数式化简后再考虑求单调区间yx22|x|3x22x3，x0 x22x3，x0 x124，x0，x124，x0.根据解析式可作出函数图像如图函数的定义域为 R，由图像可知，(，1)和0,1)是这个函数的递增区间，1,0)和1，)是这个函数的递减区间由函数的图像知，当 x1 或 1 时，这个函数取得最大值，最大值为 4，所以它的值域为(，4方法技巧 1.本题中求函数单调区间的方法是图像法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开2一次、二次函
9、数及反比例函数的单调性：(1)一次函数 ykxb 的单调性由参数 k 决定：当 k0 时，该函数在 R 上是增函数；当 k0 时，该函数在 R 上是减函数a0在，b2a 上单调递增，在 b2a，上单调递减a0在，b2a 上单调递减，在 b2a，上单调递增(2)反比例函数 ykx(k0)的单调性如下表所示：k 的符号单调区间k0在(，0)，(0，)上单调递减k0在(，0)，(0，)上单调递增(3)二次函数 yax2bxc(a0)的单调性以对称轴 x b2a为分界线.跟踪探究 1.画出函数 y|x|(x2)的图像，并指出函数的单调区间解析：y|x|(x2)x22xx121，x0，x22xx121，
10、x0.函数的图像如图所示：由函数的图像知，函数的单调递增区间为(，0和1，)，单调递减区间为(0,1)探究二 证明函数的单调性例 2 求证：函数 f(x)x1x在(0,1)上为减函数 思路点拨 在(0,1)上任取 x1，x2，且 x1x2，只需证明 f(x1)f(x2)即可证明 设 x1，x2 是(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 1x1 x2 1x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)1 1x1x2x1x2x1x21x1x2.0 x1x21，x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x1x在(0,1)上是减函数延
11、伸探究 判断并证明本例中函数 f(x)在1，)上的单调性解析：函数 f(x)x1x在1，)上是增函数，证明如下：任取 x1，x21，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 1x1 x2 1x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)1 1x1x2 x1x2x1x21x1x2.1x1x2，x1x20，x1x210，x1x20.f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x1x在1，)上是增函数.方法技巧 利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：(1)因式分解当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解如 f(x)x22x3(x3)(x1)(2)通分当原函数是分式函
12、数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解(3)配方当所得的差式含有 x1，x2 的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号(4)分子有理化当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化跟踪探究 2.判断函数 y 1x1的单调性，并用定义加以证明解析：函数 y 1x1的定义域为x|x1，设 x1，x2 是(1，)上任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)1x111x21x2x1x11x21.x11，x21，(x11)(x21)0，又 x2x1，x2x10，即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)故 f(x)在(1，)上是减函数同理可证 f(x)在(，1)上也是减函数探
13、究三 函数单调性的应用例 3 函数 yax2bx3 在(，1上是增函数，在1，)上是减函数，则()Ab0 且 a0 Bb2a0Cb2a0 Da，b 的符号不确定思路点拨 分析a是否为0 结合函数的图像找单调区间 分析相应区间同，1及1，的关系解析(1)当 a0 时，当 b0，则 y3，是常函数，不具有单调性；当 b0，则函数 ybx3 在 R 上为增函数或为减函数即 a0 时，不合题意(2)当 a0 时，则函数 yax2bx3 为二次函数，要使函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数只需a0，b2a1，即 b2a0.答案 B方法技巧 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在利用函数
14、的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上2(1)若 f(x)在区间 D 上是增函数，x1，x2 是区间 D 内的任意两个实数，则 f(x1)f(x2)x1x2；f(x1)f(x2)x1x2.(2)若 f(x)在区间 D 上是减函数，x1，x2 是区间 D 内的任意两个实数，则 f(x1)f(x2)x1x2；f(x1)f(x2)x1x2.3当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用跟踪探究 3.已知函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减的，试比较 f(a2a1)与 f34的大小解析：a2a1a1223434，34与 a2a1 都是区间(
15、0，)上的值f(x)在区间(0，)上是单调递减的，f34 f(a2a1).课后小结1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 x1，x2 有以下几个特征：一是任意性，即任意取 x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调
16、性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性2单调性的证明方法证明 f(x)在区间 D 上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设 x1，x2D 且 x1x2；(2)作差：将函数值 f(x1)与 f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对 f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图像法：作出函数的图像，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(
17、差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”素养培优对“单调区间是”和“在区间上单调”理解错误易错案例：已知函数 f(x)x22(a1)x2.(1)若函数 f(x)的单调递减区间是(，4，则实数 a 的值(或取值范围)是_(2)若函数 f(x)在区间(，4上单调递减，则实数 a 的值(或取值范围)是_易错分析：函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集如果颠倒了这两种说法的含义，就会导致出错考查精确概念、逻辑推理的学科素养自我纠正：(1)因为函数 f(x)的单调递减区间是(，4，且函数 f(x)图像的对称轴为直线 x1a，所以有 1a4，即 a3.故应填3.(2)因为函数 f(x)在区间(，4上单调递减，且函数 f(x)图像的对称轴为直线 x1a，所以 1a4，即 a3.故应填(，3.04 课时 跟踪训练